题目内容
（2013•韶关二模）给出如下四个命题：
①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”；
③“?x∈R，x2+1≥1”的否定是“?x∈R，x2+1≤1”；
④等比数列{an}中，首项a1＜0，则数列{an}是递减数列的充要条件是公比q＞1；
其中不正确的命题个数是（ ）
①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”；
③“?x∈R，x2+1≥1”的否定是“?x∈R，x2+1≤1”；
④等比数列{an}中，首项a1＜0，则数列{an}是递减数列的充要条件是公比q＞1；
其中不正确的命题个数是（ ）
分析：①先根据“p且q”为假命题得到命题p与命题q中至少有一个假命题，进行判断；
②写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论．
③全称命题：“?x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“?x∈A，非P（x）”，结合已知中原命题“?x∈R，都有有x2+1≥x”，易得到答案．
④先证必要性，由首项小于0，数列为递减数列，可得公比q大于0，得到数列的各项都小于0，利用等比数列的性质化简
，得到其比值为q，根据其比值大于1，得到公比q大于1，综上，得到满足题意的q的范围；再证充分性，由q＞1，首项为负数，得到数列各项都为负数，利用等比数列的性质化简
，得到其比值为q，根据q大于1，得到an+1＜an，即数列为递减数列，综上，得到{an}是递减数列的充要条件是公比q满足q＞1．得到正确的选项．
②写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论．
③全称命题：“?x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“?x∈A，非P（x）”，结合已知中原命题“?x∈R，都有有x2+1≥x”，易得到答案．
④先证必要性，由首项小于0，数列为递减数列，可得公比q大于0，得到数列的各项都小于0，利用等比数列的性质化简
| an+1 |
| an |
| an+1 |
| an |
解答：解：①命题“p且q”为假命题，说明命题p与命题q中至少有一个假命题；故①不正确；
②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”．正确；
③∵原命题“?x∈R，有x2+1≥1”
∴命题“?x∈R，有x2+1≥1”的否定是：?x∈R，使x2+1＜1．故③不正确；
④先证必要性：
∵a1＜0，且{an}是递减数列，
∴an＜0，即q＞0，且
=q＞1，
则此时等比q满足q＞1，
再证充分性：
∵a1＜0，q＞1，
∴an＜0，
∴
=q＞1，即an+1＜an，
则{an}是递减数列，
综上，{an}是递减数列的充要条件是公比q满足q＞1．正确．
故选C．
②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”．正确；
③∵原命题“?x∈R，有x2+1≥1”
∴命题“?x∈R，有x2+1≥1”的否定是：?x∈R，使x2+1＜1．故③不正确；
④先证必要性：
∵a1＜0，且{an}是递减数列，
∴an＜0，即q＞0，且
| an+1 |
| an |
则此时等比q满足q＞1，
再证充分性：
∵a1＜0，q＞1，
∴an＜0，
∴
| an+1 |
| an |
则{an}是递减数列，
综上，{an}是递减数列的充要条件是公比q满足q＞1．正确．
故选C．
点评：本题主要考查了命题的真假判断与应用、命题的否定、否命题、等比数列的性质，通项公式，以及充要条件的证明等，属基础题型．
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