Question

已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m²），其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b（单位：m²）的旧住房．
（1）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取1.1⁵=1.6）
（2）按照（1）的拆除速度，至少需多少年才能使该地的住房面积比今年年初的住房面积翻一番．（取lg 3=0.477，lg 1.1=0.041）

Answer 1

分析：（1）根据每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b（单位：m²）的旧住房，可得第五年末的住房面积，利用第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，建立方程，即可求得每年拆除的旧住房面积；
（2）确定第n年末的住房面积，根据住房面积比今年年初的住房面积翻一番，建立不等式，即可求得结论．

解答：解：（1）第一年末的住房面积为1.1a-b（m²）；第二年末的住房面积为（1.1a-b）×1.1-b=1.21a-2.1b（m²）
第五年末的住房面积为a•(

11

10

)5-b•[1+

11

10

+(

11

10

)2+(

11

10

)3+(

11

10

)4]=1.6a-6ba------（4分）
依题意可知1.6a-6b=1.3a，解得b=

a

20

，
所以每年拆除的旧住房面积为

a

20

(m2)-------------------------------------（6分）
（2）由（1）知第n年末的住房面积为1．1na-

1-1.1n

1-1.1

b=1．1na-

1.1n-1

0.1

×

a

20

所以1．1na-

1.1n-1

0.1

×

a

20

≥2a-------------------------------------（8分）
即1.1ⁿ≥3所以n≥log_1.13≈11.5-------------------------------------（10分）
所以至少需12年才能使该地的住房面积比今年年初的住房面积翻一番．------------（12分）

点评：本题考查数列模型的构建，考查解不等式，解题的关键是正确建立数列模型，属于中档题．