题目内容
设函数y=f(x)是定义域在R,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(
)=1,且当x>0时,f(x)>0.
(1)求f(0)的值;
(2)判断函数的奇偶性;
(3)试判断函数的单调性,并求解不等式f(x)+f(2+x)<2.
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(1)求f(0)的值;
(2)判断函数的奇偶性;
(3)试判断函数的单调性,并求解不等式f(x)+f(2+x)<2.
分析:(1)赋值令x=y=0,则可求f(0)的值;
(2)令y=-x,结合f(0)的值,可得结论;
(3)利用单调性的定义,结合足f(x+y)=f(x)+f(y),可得函数的单调性,进而将抽象不等式转化为具体不等式,即可求解.
(2)令y=-x,结合f(0)的值,可得结论;
(3)利用单调性的定义,结合足f(x+y)=f(x)+f(y),可得函数的单调性,进而将抽象不等式转化为具体不等式,即可求解.
解答:解:(1)令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0
(2)令y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x)=0,∴f(-x)=-f(x),故函数f(x)是R上的奇函数
(3)f(x)是R上的增函数,证明如下:
任取x1,x2∈R,x1<x2,则x2-x1>0
∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)>0
∴f(x1)<f(x2)
故f(x)是R上的增函数
∵f(
)=1,∴f(
)=f(
+
)=f(
)+f(
)=2
∴f(x)+f(2+x)=f[x+(2+x)]=f(2x+2)<f(
),
又由y=f(x)是定义在R上的增函数,得2x+2<
解之得x<-
,故x∈(-∞,-
).
(2)令y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x)=0,∴f(-x)=-f(x),故函数f(x)是R上的奇函数
(3)f(x)是R上的增函数,证明如下:
任取x1,x2∈R,x1<x2,则x2-x1>0
∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)>0
∴f(x1)<f(x2)
故f(x)是R上的增函数
∵f(
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∴f(x)+f(2+x)=f[x+(2+x)]=f(2x+2)<f(
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又由y=f(x)是定义在R上的增函数,得2x+2<
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解之得x<-
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点评:本题考查函数的奇偶性与单调性,考查解不等式,考查赋值法的运用,确定函数的单调性是关键.
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