题目内容
【题目】长方体
中，F是AB的中点，直线
平面
，
.
（Ⅰ）求长方体的体积；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值的大小.
【答案】（Ⅰ）16；（Ⅱ）
.
【解析】
（Ⅰ）先证
，再分别求出
和
的长度，根据体积公式计算即可；
（Ⅱ）以D为坐标原点，射线DA，DC，
分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系
，利用向量法计算二面角
的余弦值即可.
（1）连接BD，由
平面
，得
，
又
，所以
平面
，所以，
在矩形ABCD中，
，
，
∴
，∴
，∴
，
同理
，则四边形
为正方形，则
，
∴长方体体积
；
（Ⅱ）以D为坐标原点，射线DA，DC，分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系（如图），则
，
，
，
，
，
，
连接AC，在矩形ABCD中，易得
，又
，所以
平面
，
则平面的法向量可取为
，
而平面的法向量可取
，
设二面角的大小为
，则
，
所以二面角的余弦值的大小为.
练习册系列答案
相关题目
【题目】随着银行业的不断发展，市场竞争越来越激烈，顾客对银行服务质量的要求越来越高，银行为了提高柜员员工的服务意识，加强评价管理，工作中让顾客对服务作出评价，评价分为满意、基本满意、不满意三种．某银行为了比较顾客对男女柜员员工满意度评价的差异，在下属的四个分行中随机抽出40人（男女各半）进行分析比较．对40人一月中的顾客评价“不满意”的次数进行了统计，按男、女分为两组，再将每组柜员员工的月“不满意”次数分为5组：
，
，
，
，
，得到如下频数分布表．
分组 |
|
|
|
|
|
女柜员 | 2 | 3 | 8 | 5 | 2 |
男柜员 | 1 | 3 | 9 | 4 | 3 |
（1）在答题卡所给的坐标系中分别画出男、女柜员员工的频率分布直方图；分别求出男、女柜员员工的月平均“不满意”次数的估计值，试根据估计值比较男、女柜员员工的满意度谁高？
（2）在抽取的40名柜员员工中：从“不满意”次数不少于20的员工中随机抽取3人，并用X表示随机抽取的3人中女柜员工的人数，求X的分布列和数学期望．
