Question

5．已知函数f（x）=x+lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）+2的定义域为[-2013，2013]，若函数f（x）在定义域上的最大值为M，最小值为N，y=f′（x）为函数y=f（x）的导函数，且P=f′（-2013），Q=f′（2013），则M+N+P-Q=（　　）

• A． -1
• B． 4
• C． -4
• D． 1

Answer 1

分析 令g（x）=x+lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$），从而可判断g（x）在[-2013，2013]上为奇函数，g′（x）在[-2013，2013]上为偶函数，而f（x）=g（x）+2，从而解得．

解答 解：令g（x）=x+lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$），则f（x）=g（x）+2，
∵g（-x）=-x+lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}-x$）
=-x+lg（$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$）
=-x-lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）
=-（x+lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$））
=-g（x）；
∴g（x）=x+lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）在[-2013，2013]上为奇函数，
∴g_max（x）+g_min（x）=0，
∴M+N=f_max（x）+f_min（x）=g_max（x）+2+g_min（x）+2=4，
∵g（x）=x+lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）在[-2013，2013]上为奇函数，
∴g′（x）在[-2013，2013]上为偶函数，
又∵f′（x）=g′（x），
∴P-Q=f′（-2013）-f′（2013）=g′（-2013）-g′（2013）=0，
∴M+N+P-Q=4，
故选B．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用．