Question

10．若f（x）=x²-x+b，且f（log₂a）=b，log₂f（a）=2（a＞0且a≠1）
（1）求a，b的值；
（2）求f（log₂x）的最小值及相应x的值．

Answer 1

分析 （1）f（log₂a）=$（lo{g}_{2}a）^{2}-lo{g}_{2}a+b$=b，再根据a≠1，即可得到log₂a=1，从而求出a=2，求出f（2），再根据log₂f（a）=2即可求出b；
（2）将f（x）中的x换上log₂x，即可得到f（log₂x），进行配方即可求出f（log₂x）的最小值及对应的x值．

解答 解：（1）由已知条件得：
$（lo{g}_{2}a）^{2}-lo{g}_{2}a=0$；
即log₂a（log₂a-1）=0；
∵a≠1；
∴log₂a=1；
∴a=2；
∴f（2）=2+b；
∴log₂（2+b）=2；
∴b=2；
∴求得a=2，b=2；
（2）$f（lo{g}_{2}x）=（lo{g}_{2}x）^{2}-lo{g}_{2}x+2$=$（lo{g}_{2}x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{7}{4}$；
∴$lo{g}_{2}x=\frac{1}{2}$，即$x=\sqrt{2}$时，f（log₂x）取得最小值$\frac{7}{4}$．

点评 考查已知函数解析式求函数值，对数的运算，以及配方法求函数的最值．