题目内容

设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式
f(x)-f(-x)
x
<0
的解集为(  )
A、(-1,0)∪(1,+∞)
B、(-∞,-1)∪(0,1)
C、(-∞,-1)∪(1,+∞)
D、(-1,0)∪(0,1)
分析:首先利用奇函数定义与
f(x)-f(-x)
x
<0
得出x与f(x)异号,
然后由奇函数定义求出f(-1)=-f(1)=0,
最后结合f(x)的单调性解出答案.
解答:解:由奇函数f(x)可知
f(x)-f(-x)
x
=
2f(x)
x
<0
,即x与f(x)异号,
而f(1)=0,则f(-1)=-f(1)=0,
又f(x)在(0,+∞)上为增函数,则奇函数f(x)在(-∞,0)上也为增函数,
当x>0时,f(x)<0=f(1);
当x<0时,f(x)>0=f(-1),
所以0<x<1或-1<x<0.
故选D.
点评:本题综合考查奇函数定义与它的单调性.
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