题目内容

如果设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（2）=0，则不等式
f(x)-f(-x)
x
＜0的解集为（　　）
分析：由函数f（x）为奇函数，可得不等式即
2f(x)
x
＜0，即 x和f（x）异号，故有
x＞0
f(x)＜0
，或
x＜0
f(x)＞0
；再结合函数f（x）的单调性示意图可得x的范围．
解答：解：由函数f（x）为奇函数，可得不等式即
2f(x)
x
＜0，即 x和f（x）异号，
故有  
x＞0
f(x)＜0
，或 
x＜0
f(x)＞0
．
再由f（2）=0，可得f（-2）=0，
由函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，可得函数f（x）在（-∞，0）上也为增函数，
结合函数f（x）的单调性示意图可得，-2＜x＜0，或 0＜x＜2，
故选 D．
点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且当-1≤x≤0时，f（x）=2x3+5ax2+4a2x+b．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当1＜a≤3时，求函数f（x）在（0，1]上的最大值g（a）；
（Ⅲ）如果对满足1＜a≤3的一切实数a，函数f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，求实数b的取值范围．
已知函数f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，有f（x）=ax+lnx（其中e为自然对数的底，a∈R）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）=
ln|x|
|x|
，x∈[-e，0）∪（0，e]，求证：当a=-1时，|f（x）|＞g（x）+
1
2
；
（3）试问：是否存在实数a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）的最小值是3？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．
（2013•梅州一模）设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a2|-a2，且f（x）为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是
[-
2
，
2
]
[-
2
，
2
]
．
设函数f（x）对任意的实数x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＜0时，f（x）＜0，f（-1）=-2．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）试问当-2≤x≤2时，f（x）是否有最大值或最小值？如果有，求出最值；如果没有，请说出理由．

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