Question

（2012•厦门模拟）定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ（λ∈R，使得对任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），则称y=f（x）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题为真命题的是

①③④

（写出所有真命题对应的序号）．
①若函数y=f（x）是倍增系数λ=-2的倍增函数，则y=f（x）至少有1个零点；
②函数f（x）=2x+1是倍增函数，且倍增系数λ=1；
③函数f(x)=

e

-x

是倍增函数，且倍增系数λ∈（0，1）；
④若函数f（x）=sin（2ωx）（ω＞0）是倍增函数，则ω=

kπ

2

(k∈N*)．

Answer 1

分析：由函数y=f（x）是倍增系数λ=-2的倍增函数，知f（x-2）=-2f（x），由此得到y=f（x）至少有1个零点；由f（x）=2x+1是倍增函数，知2（x+λ）+1=λ（2x+1），故λ=

2x+1

2x-1

≠1；由f(x)=

e

-x

是倍增函数，得λ=

1

eλ

∈（0，1）；由f（x）=sin（2ωx）（ω＞0）是倍增函数，得ω=

kπ

2

(k∈N*)．

解答：解：∵函数y=f（x）是倍增系数λ=-2的倍增函数，
∴f（x-2）=-2f（x），
当x=0时，f（-2）+2f（0）=0，
若f（0），f（-2）任一个为0，函数f（x）有零点．
若f（0），f（-2）均不为零，则f（0），f（-2）异号，
由零点存在定理，在（-2，0）区间存在x₀，f（x₀）=0，
即y=f（x）至少有1个零点，故①正确；
∵f（x）=2x+1是倍增函数，
∴2（x+λ）+1=λ（2x+1），
∴λ=

2x+1

2x-1

≠1，故②不正确；
∵f(x)=

e

-x

是倍增函数，
∴e^-（x+λ）=λe^-x，
∴

1

ex•eλ

=

λ

ex

，
∴λ=

1

eλ

∈（0，1），故③正确；
∵f（x）=sin（2ωx）（ω＞0）是倍增函数，
∴sin[2ω（x+λ）]=λsin（2ωx），
∴ω=

kπ

2

(k∈N*)．故④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．