题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求函数的值域;
(2)如果对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2) .
【解析】
(1)利用配方法化简函数,根据函数的定义域,换元得到t=∈[0,2],由二次函数的性质,即可求出函数的值域;(2)先利用对数运算化简不等式,换元,再通过分离参数法,转化为最值问题,利用基本不等式求出最值,即可求出实数的取值范围.
(1)h(x)=(4-2)·=-2(-1)2+2,
因为x∈[1,4],所以t=∈[0,2],,
故函数h(x)的值域为[0,2].
(2)由f(x2)·f()>k·g(x),
得(3-4)(3-)>k·,
令,因为x∈[1,4],所以t=∈[0,2],
所以(3-4t)(3-t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立,
①当t=0时,k∈R;
②当t∈(0,2]时,恒成立,
即,
因为,当且仅当,即时取等号,
所以的最小值为-3.所以k<-3.
综上,实数k的取值范围为(-∞,-3).
练习册系列答案
相关题目