题目内容
6．点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A1-D1DP的体积不变；
②A1P∥平面ACD1；
③DP⊥BC1；
④平面A1PB⊥平面PDB1．
其中正确的命题的序号是（ ）
| A． | ①②③ | B． | ①②④ | C． | ①③④ | D． | ②③④ |
分析 利用ABCD-A1B1C1D1为正方体，根据正方体的性质及线面平行、线面垂直、面面平行和垂直的判定和性质，逐一核对四个命题得答案．
解答 解：如图，
对于①，∵BC1∥平面A1DD1，∴P到面A1DD1的距离不变，三棱锥A1-D1DP的体积不变，①正确；
对于②，∵平面A1BC1∥平面ACD1，∴A1P∥平面ACD1，②正确；
对于③，∵在同一平面内，过直线外一点与已知直线垂直的直线只有一条，∴DP⊥BC1不正确，③不正确；
对于④，∵BD1⊥平面A1BC1，由线面垂直的判断知，平面A1PB⊥平面PDB1，④正确．
故正确的命题为①②④．
故选：B．
点评 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间先和面的位置关系，训练了系数的空间想象能力和思维能力，是中档题．
练习册系列答案
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①P（A1|B）＞0②P（A1∪A2|B）=P（A1|B）+P（A2|B）③P（A1$\overrightarrow{{A}_{2}}$|B）≠0④P（$\overline{{A}_{1}{A}_{2}}$|B）=1．
| A． | ①②③④ | B． | ② | C． | ②③ | D． | ②④ |
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