题目内容

4.已知在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a,b,c,sinA+sinB-4sinC=0,且△ABC的周长L=5,面积S=$\frac{16}{5}$-$\frac{1}{5}$(a2+b2).
(1)求c和cosC的值;
(2)求$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{asinA+bsinB}$的值.

分析 (1)利用正弦定理化简已知的第一个等式,得到a+b=4c,代入第二个等式中计算,即可求出c的长;
利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S,代入已知的等式中,利用完全平方公式变形后,将a+b=4代入化简,即可求出cosC的值;
(2)由正弦定理列出关系式,变形后利用合比性质化简,即可求出所求式子的值.

解答 解:(1)∵sinA+sinB-4sinC=0,
∴a+b=4c,
∵△ABC的周长L=5,
∴a+b+c=5,∴c=1,a+b=4.
∵面积S=$\frac{16}{5}$-$\frac{1}{5}$(a2+b2),
∴$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{16}{5}$-$\frac{1}{5}$(a2+b2)=$\frac{16}{5}-\frac{1}{5}[(a+b)^{2}-2ab]$=$\frac{2}{5}ab$,
∴sinC=$\frac{4}{5}$,
∵c<a+b,C是锐角,
∴cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{3}{5}$.
(2)$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{5}{4}$,
∴$\frac{{a}^{2}}{asinA}$=$\frac{{b}^{2}}{bsinB}$=$\frac{5}{4}$,
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{asinA+bsinB}$=$\frac{5}{4}$.

点评 此题考查了正弦定理,三角形的面积公式,完全平方公式的运用,以及比例的性质,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.

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