对于函数f(x)=$\frac{sinx}{2+cosx}$.给出下列结论:①f(x)为奇函数,②x=$\frac{π}{2}$是f(x)的一条对称轴,③2π是f(x)的一个周期,④f(x)在[-$\frac{π}{2}$.$\frac{π}{2}$]上为增函数,⑤f(x)的值域为[-$\frac{1}{2}$.$\frac{1}{2}$],其中正确的结论是①③④(写出所有正确� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．对于函数f（x）=$\frac{sinx}{2+cosx}$，给出下列结论：
①f（x）为奇函数；
②x=$\frac{π}{2}$是f（x）的一条对称轴；
③2π是f（x）的一个周期；
④f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上为增函数；
⑤f（x）的值域为[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]；
其中正确的结论是①③④（写出所有正确结论的序号）

分析 ①由于2+cosx≠0，因此函数f（x）的定义域为R．利用奇函数的定义判断f（-x）=-f（x）是否成立即可；
②判定$f（\frac{π}{2}-x）$=$f（\frac{π}{2}+x）$是否成立即可；
③判定f（x+2π）=f（x）是否成立即可；
④利用导数研究其单调性即可得出；
⑤由④可得得出函数f（x）的值域．

解答解：①由于2+cosx≠0，因此函数f（x）的定义域为R．∵f（-x）=$\frac{sin（-x）}{2+cos（-x）}$=$-\frac{sinx}{2+cosx}$=-f（x），∴f（x）为奇函数，正确；
②∵$f（\frac{π}{2}-x）$=$\frac{sin（\frac{π}{2}-x）}{2+cos（\frac{π}{2}-x）}$=$\frac{cosx}{2+sinx}$，$f（\frac{π}{2}+x）$=$\frac{sin（\frac{π}{2}+x）}{2+cos（\frac{π}{2}+x）}$=$\frac{cosx}{2-sinx}$，∴$f（\frac{π}{2}-x）$≠$f（\frac{π}{2}+x）$，因此x=$\frac{π}{2}$不是f（x）的一条对称轴，不正确；
③∵?x∈R，f（x+2π）=$\frac{sin（x+2π）}{2+cos（x+2π）}$=$\frac{sinx}{2+cosx}$=f（x），∴2π是f（x）的一个周期，正确；
④∵f′（x）=$\frac{cosx（2+cosx）-sinx（-sinx）}{（2+cosx）^{2}}$=$\frac{2cosx+1}{（2+cosx）^{2}}$，由f′（x）≥0，解得x∈$[-\frac{2π}{3}+2kπ，\frac{2π}{3}+2kπ]$（k∈Z），当k=0时，可得函数f（x）的一个单调递增区间为$[-\frac{2π}{3}，\frac{2π}{3}]$，因此f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上为增函数，正确；
⑤由④可得：f（x）的值域为$[-\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}]$，因此⑤不正确．
综上可得：只有①③④正确．

点评本题考查了三角函数的图象与性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．