题目内容

已知椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）的离心率 $数学公式$ ，在椭圆E上存在A，B两点关于直线l：y=x+1对称．
（Ⅰ）现给出下列三个条件：①直线AB恰好经过椭圆E的一个焦点；②椭圆E的右焦点F到直线l的距离为 $数学公式$ ；③椭圆E的左、右焦点到直线l的距离之比为 $数学公式$ ．
试从中选择一个条件以确定椭圆E，并求出它的方程；（注：只需选择一个方案答题，如果用多种方案答题，则按第一种方案给分）
（Ⅱ）若以AB为直径的圆恰好经过椭圆E的上顶点S，求b的值．

解：（Ⅰ）选择条件②，∵椭圆 $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的离心率 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，椭圆的右焦点坐标为（c，0）
∵右焦点F到直线l的距离为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴c=3，a=3 $\text{[math]}$
∵a²=b²+c²，
∴b²=9
∴椭圆E的方程为 $\text{[math]}$
（Ⅱ）∵离心率 $\text{[math]}$
∴a²=2b²
∵A，B两点关于直线l：y=x+1对称，
∴直线AB的斜率为-1，设直线AB的方程为y=-x+m，代入椭圆方程 $\text{[math]}$ 得：（3b²）x²-4mb²x+2b²m²-2b⁴=0
∴△＞0时，x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$
依题意，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵椭圆E上存在A，B两点关于直线l：y=x+1对称，
∴AB的中点（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）在直线：y=x+1上
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴m=-3
∵椭圆E的上顶点S（0，b），以AB为直径的圆恰好经过椭圆E的上顶点S，即AS⊥BS，即 $\text{[math]}$ =0，即（-x₁，b-y₁）•（-x₂，b-y₂）=0
∴x₁x₂+（b-y₁）（b-y₂）=x₁x₂+y₁y₂-b（y₁+y₂）+b²=2x₁x₂+（b+3）（x₁+x₂）+9+6b+b²=0
∴ $\text{[math]}$ -4（b+3））+9+6b+b²=0，解得b=9，b=-3（舍去）
∴b=9
分析：（Ⅰ）选择条件②运算量小一些，由椭圆E的右焦点F到直线l的距离为 $\text{[math]}$ ，利用点到直线的距离公式即可得c的值，再由离心率 $\text{[math]}$ ，即可求得a值，最后由椭圆a²=b²+c²，求的b值即可得椭圆方程
（Ⅱ）先由离心率 $\text{[math]}$ ，得a²=2b²，将椭圆方程化为 $\text{[math]}$ ，再由椭圆E上存在A，B两点关于直线l：y=x+1对称，知AB的中点（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）在直线：y=x+1上，联立直线AB和椭圆方程，利用韦达定理列方程可得m的值，最后利用以AB为直径的圆恰好经过椭圆E的上顶点S（0，b），，即AS⊥BS，即 $\text{[math]}$ =0，利用韦达定理列方程即可得b的值
点评：本题考察了椭圆的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系，解题时要认真体会韦达定理在解决直线与圆锥曲线问题中的重要应用．