题目内容
【题目】已知：
.
（1）讨论
的单调性；
（2）当
，
时，证明：
（i）
在点
处的切线与的图像至少有两个不同的公共点；
（ii）若另有公共点为
，其中
，则
.
【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析，（ii）见解析
【解析】
（1）先求得函数到导数，然后对
分成
两种情况，讨论
的单调性.（2）先判断出的二阶导数大于零.（i）先求得函数在
点处的切线方程，
，构造函数
，利用
的导数求得函数的单调区间，
，以及结合零点存在性定理判断出至少有两个零点，也即切线与
至少有两个不同的公共点.（ii）取
，根据函数的单调性，有
，而
，利用基本不等式证得
.
（1）
，当
时，
在
，当
时，
，
.
（2）
.
（i），
，
，
，
.
，
时，
，
：
，
，
，
.
又
，
，
当
时，
，取
时，
，
故
，使
.故至少有两个零点，也即切线与至少有两个不同的公共点.
（ii）取，
，
∴，∴
.
备战中考寒假系列答案
【题目】如图甲是某商店2018年（按360天计算）的日盈利额（单位：万元）的统计图.
（1）请计算出该商店2018年日盈利额的平均值（精确到0.1，单位：万元）：
（2）为了刺激消费者，该商店于2019年1月举行有奖促销活动，顾客凡购买一定金额的高品后均可参加抽奖.随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店对前5天抽奖活动的人数进行统计如下表：（
表示第
天参加抽奖活动的人数）
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 50 | 60 | 70 | 80 | 100 |
经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系.
（ⅰ）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程
：
（ⅱ）该商店采取转盘方式进行抽奖（如图乙），其中转盘是个八等分的圆.每位顾客最多两次抽奖机会，若第一次抽到奖，则抽奖终止，若第一次未抽到奖，则再提供一次抽奖机会.抽到一等奖的奖品价值128元，抽到二等奖的奖品价值32元.若该商店此次抽奖活动持续7天，试估计该商店在此次抽奖活动结束时共送出价值为多少元的奖品（精确到0.1，单位：万元）？
（3）用（1）中的2018年日盈利额的平均值去估计当月（共31天）每天的日盈利额.若商店每天的固定支出约为1000元，促销活动日的日盈利额比平常增加20%，则该商店当月的纯利润约为多少万元？（精确到0.1，纯利润=盈利额-固定支出-抽奖总奖金数）
参考公式及数据：
，
，
，
.
【题目】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加一次抽奖.随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商场对前5天抽奖活动的人数进行统计，y表示第x天参加抽奖活动的人数，得到统计表如下：
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 50 | 60 | 70 | 80 | 100 |
经过进一步统计分析，发现y与x具有线性相关关系.
（1）若从这5天随机抽取两天，求至少有1天参加抽奖人数超过70的概率；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
，并估计该活动持续7天，共有多少名顾客参加抽奖？
参考公式及数据：
.
【题目】通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如表的列联表：
男 | 女 | 总计 | |
爱好 | 40 | 20 | 60 |
不爱好 | 20 | 30 | 50 |
总计 | 60 | 50 | 110 |
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
算得，
．见附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）
A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
