题目内容

【题目】已知椭圆)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,且直线与圆相切.

1)求椭圆的方程;

2)若直线都经过椭圆的左顶点,与椭圆分别交于两点,且.求证:直线过定点,并求出该定点坐标.

【答案】12)证明见解析;定点

【解析】

1)根据椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,直线与圆相切,建立方程组,求出,即可求椭圆的方程;

2)设直线的方程为:,则,联立直线与椭圆方程,消元列出韦达定理,整理得:,从而求出直线过定点坐标;

解:(1)由题意,

① ②得:,所以椭圆的方程为:

2)显然直线轴不平行,

设直线的方程为:

所以.

因为

所以

整理得:

所以直线的方程为:,即直线过定点.

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