题目内容
【题目】已知椭圆:()短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,且直线与圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线,都经过椭圆的左顶点,与椭圆分别交于,两点,且.求证:直线过定点,并求出该定点坐标.
【答案】(1)(2)证明见解析;定点
【解析】
(1)根据椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,直线与圆相切,建立方程组,求出,,即可求椭圆的方程;
(2)设直线的方程为:,,,则,联立直线与椭圆方程,消元列出韦达定理,整理得:,从而求出直线过定点坐标;
解:(1)由题意,①,,②
由① ②得:,,所以椭圆的方程为:;
(2)显然直线与轴不平行,
设直线的方程为:,,
由,
所以,.
因为,
所以
整理得:,
所以直线的方程为:,即直线过定点.
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