Question

（本小题满分13分）设函数f(x)=x³+ax²－a²x+m(a>0).

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数f(x)在x∈[－1，1]内没有极值点，求a的取值范围；

（Ⅲ）若对任意的a∈[3,6]，不等式f(x)≤1在x∈[－2,2]上恒成立，求m的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函数f(x)的单调递增区间为（－∞，－a），(，+∞)，

单调递减区间为(－a，).（Ⅱ）a>3.   （Ⅲ）m≤－87.       

【解析】本试题主要是考查了函数的极值问题和函数与不等式的综合运用。

（1）∵f′(x)=3x²+2ax－a²=3(x－)(x+a),

又a>0，∴当x<－a或x>时f′(x)>0；

当－a<x<时，f′(x)<0得到单调区间。

（2）由题设可知，方程f′(x)=3x²+2ax－a²=0在[－1，1]上没有实根

∴，解得a>3.

（3）∵a∈[3,6]，∴由（Ⅰ）知∈[1，2]，－a≤－3

又x∈[－2,2]

∴f(x)_max=max{f(－2),f(2)}

而f(2)－f(－2)=16－4a²<0

求解得到。

解：（Ⅰ）∵f′(x)=3x²+2ax－a²=3(x－)(x+a),

又a>0，∴当x<－a或x>时f′(x)>0；

当－a<x<时，f′(x)<0.

∴函数f(x)的单调递增区间为（－∞，－a），(，+∞)，单调递减区间为(－a，).(4分）

（Ⅱ）由题设可知，方程f′(x)=3x²+2ax－a²=0在[－1，1]上没有实根

∴，解得a>3.                                            （8分）

（Ⅲ）∵a∈[3,6]，∴由（Ⅰ）知∈[1，2]，－a≤－3

又x∈[－2,2]

∴f(x)_max=max{f(－2),f(2)}

而f(2)－f(－2)=16－4a²<0

∴f(x)_max=f(－2)=－8+4a+2a²+m                   （10分）

又∵f(x)≤1在[－2，2]上恒成立

∴f(x)_max≤1即－8+4a+2a²+m≤1

即m≤9－4a－2a²,在a∈[3，6]上恒成立

∵9－4a－2a²的最小值为－87

∴m≤－87.                        （13分）