题目内容

已知长方形ABCD，AB=6，BC=7/4．以AB的中点0为原点建立如图所示的平面直角坐标系x0y
（1）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆C的标准方程；
（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点， $数学公式$ =λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

解：（1）由椭圆的定义可得2c=AB=6，c=3
在长方形ABCD，由AB=6，BC= $\text{[math]}$ 可得AC= $\text{[math]}$ ，
∴2a=CA+CB=8，a=4∴b²=a²-c²=7
椭圆的方程为 $\text{[math]}$ …（5分）
（2）设M（x，y），其中x∈[-4，4]．由已知 $\text{[math]}$ =λ，及点P在椭圆C上可得
$\text{[math]}$ ．整理得（（16λ²-9）x²+16λ²y²=112，x∈[-4，4]…（8分）
（i） $\text{[math]}$ 时．化简得9y²=112
所以点M的轨迹方程为 $\text{[math]}$ ，轨迹是两条平行于x轴的线段．
（ii） $\text{[math]}$ 时，方程变形为 $\text{[math]}$ ，其中x∈[-4，4]
当 $\text{[math]}$ 时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分．
当 $\text{[math]}$ 时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆…（13分）
分析：（1）由椭圆的定义可得2c=AB可求c，在长方形ABCD，由AB=6，BC= $\text{[math]}$ 可得AC，根据椭圆的定义可得，2a=CA+CB可求a，进而可求b及椭圆的方程
（2）设M（x，y），其中x∈[-4，4]．由已知 $\text{[math]}$ =λ，及点P在椭圆C上可得（（16λ²-9）x²+16λ²y²=112，x∈[-4，4]，根据方程的特点，故讨论二次项系数16λ²-9=0，16λ²-9＞0，16λ²-9＜0三种情况讨论，从而可得方程代表的曲线类型
点评：本题主要考查了利用椭圆的定义求解椭圆的参数a，c，b的值，进而求解椭圆的方程，及二次曲线表示椭圆、双曲线、圆的条件的考查．