题目内容
【题目】已知⊙:
与⊙
:
,以
,
分别为左右焦点的椭圆
:
经过两圆的交点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ),
分别为椭圆
的左右顶点,
,
,
是椭圆
上非顶点的三点,若
∥
,
∥
,试问
的面积是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)
的面积为定值3..
【解析】试题分析:(Ⅰ)依题意有,由椭圆定义知
,解得
点值,得出椭圆的方程;
(Ⅱ)由题可知,
,设
,
,把直线
的方程为
与椭圆方程联立,利用根与系数的关系和韦达定理,即可求
面积的定值.
试题解析:(Ⅰ)设两圆的交点为,依题意有
,
由椭圆定义知,解得
;
因为,
分别为椭圆
的左右焦点,所以
,解得
,
所以椭圆的方程为
;
(Ⅱ)解法一 由题可知,
,设
,∵
上的点,
∴,即
,∴
,
∵∥
,
∥
,∴
,
∵、
、
是椭圆
上非顶点的三点,∴直线
的斜率存在且不为零,
设直线的方程为
,
,
,
由,得
,
由,得
(*)
且,
,
∴,
∵,∴
,整理得
,
代入(*)得,
∵
,
原点到直线
的距离
,∴
(定值).
综上所述, 的面积为定值3.(Ⅱ)解法二 同解法一可知,直线
,
的斜率存在且不为零,且
,……6分
设直线的方程为
,则直线
的方程为
,设
,
,
由得
,用
换
可得
,则
,
因为,所以与
异号,
∴(定值).
综上所述, 的面积为定值3.
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