Question

19．已知函数$f（x）=\frac{a+blnx}{x+1}$在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．
（1）求a，b的值；
（2）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，f（x）＜$\frac{m}{{{x^2}+x}}$恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，解方程可得a，b的值；
（2）由题意可得2x-xlnx＜m，令g（x）=2x-xlnx，求出导数，求得单调区间，求得极大值和最大值，即可得到m的范围．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=\frac{a+blnx}{x+1}$，
∴f′（x）=$\frac{\frac{b}{x}（x+1）-（a+blnx）}{（x+1）^{2}}$，
∵点（1，f（1））在直线x+y=2上，
∴f（1）=1，
∵直线x+y=2的斜率为-1，∴f′（1）=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}=1}\\{\frac{2b-a}{4}=-1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-1}\end{array}\right.$；          
（2）由（Ⅰ）得f（x）=$\frac{2-lnx}{x+1}$（x＞0），
由f（x）＜$\frac{m}{x+{x}^{2}}$及x＞0，可得2x-xlnx＜m，
令g（x）=2x-xlnx，∴g'（x）=1-lnx，
∴g′（x）＜0，x∈（e，+∞）；g′（x）＞0，x∈（0，e），
∴g（x）在（0，e）是增函数，在（e，+∞）是减函数，
故g（x）_max=g（e）=e，
要使f（x）＜$\frac{m}{x+{x}^{2}}$成立，只需m＞e，
故m的取值范围是（e，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数的方法，属于中档题．