Question

已知函数在（1,2）上是增函数，在（0,1）上是减函数。
求的值；
当时，若在内恒成立，求实数的取值范围;
求证：方程在内有唯一解.

Answer 1

（Ⅰ），
（Ⅱ）。（Ⅲ）方程=0在内有唯一解。

试题分析：（Ⅰ）对任意的恒成立，因此。同理，由即对任意恒成立，因此。所以，
    。
（Ⅱ），时，为减函数，最小值为1.
令，则.
∵，,∴,∴在上为增函数，其最大值为
。
∴，得，故。
（Ⅲ）由得
设,则，
令，由得，解得，
令得，则
，有最小值0，且当时，，
∴方程=0在内有唯一解。
点评：典型题，在给定区间，导数非负，函数为增函数，导数非正，函数为减函数。涉及“不等式恒成立”“方程的解”等问题，往往通过构造函数，转化成求函数的最值问题，利用导数加以解决。