Question

已知P为圆x²+（y-1）²=1上任意一点，直线OP的倾斜角为θ弧度，O为坐标原点，记d=|OP|，以（θ，d）为坐标的点的轨迹为C，则曲线C与x轴围成的封闭图形的面积为

 

．

Answer 1

分析：由题意可知，在OP与直径围成的三角形中通过解三角形求出d与θ的函数关系，再根据函数表达式作出图象，最后利用定积分表示出所求面积，解之即可．

解答：解：在直角三角形中，因直径的长度为2，其所邻的角为

π

2

-θ故
|OP|=2cos(

π

2

-θ)=2sinθ，θ∈(0，π)
故函数图象为
曲线C与x轴围成的封闭图形的面积为∫₀^π2sinxdx=（-2cosx）|₀^π=2+2=4
故答案为：4

点评：本题考点是直线与圆的位置关系，在圆中考查三角函数，是本题的一大亮点，新颖，同时考查了定积分的应用，属于中档题．