Question

【题目】如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，.

（1）证明：平面；

（2）设二面角的正切值为，，为线段上一点，且与平面所成角的正弦值为，求.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）或..

【解析】试题分析：（1）证明线面平行只需在面内找一线与已知线平行即可，通常构建三角形中位线或者平行四边形，根据题意我们可以取的中点，连接，∵侧面为平行四边形，∴为的中点，∴，又，∴，

∴四边形为平行四边形，则.进而得出结论（2）先求出二面角，过作于，连接，则即为二面角的平面角.然后建立空间直角坐标系求出面ABD的法向量和斜线CE的坐标，根据向量夹角公式得出等式即可求解.

解析：（1）证明：取的中点，连接，

∵侧面为平行四边形，∴为的中点，

∴，又，∴，

∴四边形为平行四边形，则.

∵平面，平面，∴平面.

（2）解：过作于，连接，

则即为二面角的平面角.

∵，，∴.

又，，∴.

以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，

则，，设平面的法向量，

则，即，令，得.

设，∵，∴ ，

∴与平面所成角的正弦值为 ，

∴，∴或，即或.