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题目内容

8.已知数列{an}的前n项和为Sn,若n,an,Sn构成等差数列.
(1)求证:数列{an+1}是等比数列;
(2)求{an}的通项公式,并求使Sn>2015成立的最小n;
(3)求证:n2-13nk=1akak+1n2

分析 (1)由n,an,Sn构成等差数列得到数列递推式Sn+n=2an,由此求得首项并可证明数列{an+1}是等比数列;
(2)由(1)中的等比数列求出通项公式,得到an=2n1,代入数列递推式得Sn,再由Sn>2015结合数列的函数特性求得使Sn>2015成立的最小n的值;
(3)由anan+1=2n12n+11=12122n+11,然后直接求nk=1akak+1证明不等式右边;再由12n+22122n+1212n1232=1612n1,求和后可得不等式左边.

解答 (1)证明:由n,an,Sn构成等差数列,得Sn+n=2an,①
取n=1,得a1=S1+1=2a1,a1=1;
当n≥2时,Sn-1+(n-1)=2an-1,②
①-②得:an+1=2an-2an-1,即an+1=2(an-1+1)(n≥2),
∵a1+1=2≠0,
an+1an1+1=2,即数列{an+1}是等比数列;
(2)解:由(1)知,an+1=22n1=2n
an=2n1
代入①得:Sn=2ann=22n1n=2n+1n2
由Sn>2015,得2n+1-n-2>2015,即2n+1-n>2017,
∵函数f(n)=2n+1-n为增函数,且f(9)=1015<2017,f(10)=2038>2017,
∴使Sn>2015成立的最小n的值为10;
(3)证明:∵anan+1=2n12n+11=12122n+11
nk=1akak+1=a1a2+a2a3++anan+1=1212221+1212231++12122n+11=n21232+1242++12n+22n2
12n+22122n+1212n1232=1612n1
1232+1242++12n+2216+1612++1612n113112n13
nk=1akak+1=n21232+1242++12n+22n213
n2-13nk=1akak+1n2

点评 本题考查了等比关系的确定,考查了放缩法证明数列不等式,对于(3)的证明,裂项anan+1=2n12n+11=12122n+11是关键,属难题.

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