题目内容
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，若n，an，Sn构成等差数列．（1）求证：数列{an+1}是等比数列；
（2）求{an}的通项公式，并求使Sn＞2015成立的最小n；
（3）求证：$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{3}$＜$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{{a}_{k}}{{a}_{k+1}}$＜$\frac{n}{2}$．
分析 （1）由n，an，Sn构成等差数列得到数列递推式Sn+n=2an，由此求得首项并可证明数列{an+1}是等比数列；
（2）由（1）中的等比数列求出通项公式，得到${a}_{n}={2}^{n}-1$，代入数列递推式得Sn，再由Sn＞2015结合数列的函数特性求得使Sn＞2015成立的最小n的值；
（3）由$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}=\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{{2}^{n+1}-1}$，然后直接求$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{{a}_{k}}{{a}_{k+1}}$证明不等式右边；再由$\frac{1}{{2}^{n+2}-2}＜\frac{1}{2（{2}^{n+1}-2）}＜…＜\frac{1}{{2}^{n-1}（{2}^{3}-2）}$=$\frac{1}{6}•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，求和后可得不等式左边．
解答 （1）证明：由n，an，Sn构成等差数列，得Sn+n=2an，①
取n=1，得a1=S1+1=2a1，a1=1；
当n≥2时，Sn-1+（n-1）=2an-1，②
①-②得：an+1=2an-2an-1，即an+1=2（an-1+1）（n≥2），
∵a1+1=2≠0，
∴$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n-1}+1}=2$，即数列{an+1}是等比数列；
（2）解：由（1）知，${a}_{n}+1=2•{2}^{n-1}={2}^{n}$，
∴${a}_{n}={2}^{n}-1$，
代入①得：${S}_{n}=2{a}_{n}-n=2（{2}^{n}-1）-n={2}^{n+1}-n-2$，
由Sn＞2015，得2n+1-n-2＞2015，即2n+1-n＞2017，
∵函数f（n）=2n+1-n为增函数，且f（9）=1015＜2017，f（10）=2038＞2017，
∴使Sn＞2015成立的最小n的值为10；
（3）证明：∵$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}=\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{{2}^{n+1}-1}$，
∴$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{{a}_{k}}{{a}_{k+1}}$=$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}+\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}+…+\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$（\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{{2}^{2}-1}）+（\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{{2}^{3}-1}）+…+（\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{{2}^{n+1}-1}）$=$\frac{n}{2}-（\frac{1}{{2}^{3}-2}+\frac{1}{{2}^{4}-2}+…+\frac{1}{{2}^{n+2}-2}）$$＜\frac{n}{2}$；
∵$\frac{1}{{2}^{n+2}-2}＜\frac{1}{2（{2}^{n+1}-2）}＜…＜\frac{1}{{2}^{n-1}（{2}^{3}-2）}$=$\frac{1}{6}•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴$\frac{1}{{2}^{3}-2}+\frac{1}{{2}^{4}-2}+…+\frac{1}{{2}^{n+2}-2}＜$$\frac{1}{6}+\frac{1}{6}•\frac{1}{2}+…+\frac{1}{6}•（\frac{1}{2}）^{n-1}$$＜\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）＜\frac{1}{3}$．
∴$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{{a}_{k}}{{a}_{k+1}}$=$\frac{n}{2}-（\frac{1}{{2}^{3}-2}+\frac{1}{{2}^{4}-2}+…+\frac{1}{{2}^{n+2}-2}）＞\frac{n}{2}-\frac{1}{3}$．
∴$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{3}$＜$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{{a}_{k}}{{a}_{k+1}}$＜$\frac{n}{2}$．
点评 本题考查了等比关系的确定，考查了放缩法证明数列不等式，对于（3）的证明，裂项$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}=\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{{2}^{n+1}-1}$是关键，属难题．
