Question

8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若n，a_n，S_n构成等差数列．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求{a_n}的通项公式，并求使S_n＞2015成立的最小n；
（3）求证：$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{3}$＜$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{{a}_{k}}{{a}_{k+1}}$＜$\frac{n}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由n，a_n，S_n构成等差数列得到数列递推式S_n+n=2a_n，由此求得首项并可证明数列{a_n+1}是等比数列；
（2）由（1）中的等比数列求出通项公式，得到${a}_{n}={2}^{n}-1$，代入数列递推式得S_n，再由S_n＞2015结合数列的函数特性求得使S_n＞2015成立的最小n的值；
（3）由$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}=\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{{2}^{n+1}-1}$，然后直接求$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{{a}_{k}}{{a}_{k+1}}$证明不等式右边；再由$\frac{1}{{2}^{n+2}-2}＜\frac{1}{2（{2}^{n+1}-2）}＜…＜\frac{1}{{2}^{n-1}（{2}^{3}-2）}$=$\frac{1}{6}•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，求和后可得不等式左边．

解答 （1）证明：由n，a_n，S_n构成等差数列，得S_n+n=2a_n，①
取n=1，得a₁=S₁+1=2a₁，a₁=1；
当n≥2时，S_n-1+（n-1）=2a_n-1，②
①-②得：a_n+1=2a_n-2a_n-1，即a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），
∵a₁+1=2≠0，
∴$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n-1}+1}=2$，即数列{a_n+1}是等比数列；
（2）解：由（1）知，${a}_{n}+1=2•{2}^{n-1}={2}^{n}$，
∴${a}_{n}={2}^{n}-1$，
代入①得：${S}_{n}=2{a}_{n}-n=2（{2}^{n}-1）-n={2}^{n+1}-n-2$，
由S_n＞2015，得2ⁿ⁺¹-n-2＞2015，即2ⁿ⁺¹-n＞2017，
∵函数f（n）=2ⁿ⁺¹-n为增函数，且f（9）=1015＜2017，f（10）=2038＞2017，
∴使S_n＞2015成立的最小n的值为10；
（3）证明：∵$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}=\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{{2}^{n+1}-1}$，
∴$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{{a}_{k}}{{a}_{k+1}}$=$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}+\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}+…+\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$（\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{{2}^{2}-1}）+（\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{{2}^{3}-1}）+…+（\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{{2}^{n+1}-1}）$=$\frac{n}{2}-（\frac{1}{{2}^{3}-2}+\frac{1}{{2}^{4}-2}+…+\frac{1}{{2}^{n+2}-2}）$$＜\frac{n}{2}$；
∵$\frac{1}{{2}^{n+2}-2}＜\frac{1}{2（{2}^{n+1}-2）}＜…＜\frac{1}{{2}^{n-1}（{2}^{3}-2）}$=$\frac{1}{6}•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴$\frac{1}{{2}^{3}-2}+\frac{1}{{2}^{4}-2}+…+\frac{1}{{2}^{n+2}-2}＜$$\frac{1}{6}+\frac{1}{6}•\frac{1}{2}+…+\frac{1}{6}•（\frac{1}{2}）^{n-1}$$＜\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）＜\frac{1}{3}$．
∴$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{{a}_{k}}{{a}_{k+1}}$=$\frac{n}{2}-（\frac{1}{{2}^{3}-2}+\frac{1}{{2}^{4}-2}+…+\frac{1}{{2}^{n+2}-2}）＞\frac{n}{2}-\frac{1}{3}$．
∴$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{3}$＜$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{{a}_{k}}{{a}_{k+1}}$＜$\frac{n}{2}$．

点评 本题考查了等比关系的确定，考查了放缩法证明数列不等式，对于（3）的证明，裂项$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}=\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{{2}^{n+1}-1}$是关键，属难题．