题目内容
8.已知数列{an}的前n项和为Sn,若n,an,Sn构成等差数列.分析 (1)由n,an,Sn构成等差数列得到数列递推式Sn+n=2an,由此求得首项并可证明数列{an+1}是等比数列;
(2)由(1)中的等比数列求出通项公式,得到an=2n−1,代入数列递推式得Sn,再由Sn>2015结合数列的函数特性求得使Sn>2015成立的最小n的值;
(3)由anan+1=2n−12n+1−1=12−122n+1−1,然后直接求∑nk=1akak+1证明不等式右边;再由12n+2−2<12(2n+1−2)<…<12n−1(23−2)=16•(12)n−1,求和后可得不等式左边.
解答 (1)证明:由n,an,Sn构成等差数列,得Sn+n=2an,①
取n=1,得a1=S1+1=2a1,a1=1;
当n≥2时,Sn-1+(n-1)=2an-1,②
①-②得:an+1=2an-2an-1,即an+1=2(an-1+1)(n≥2),
∵a1+1=2≠0,
∴an+1an−1+1=2,即数列{an+1}是等比数列;
(2)解:由(1)知,an+1=2•2n−1=2n,
∴an=2n−1,
代入①得:Sn=2an−n=2(2n−1)−n=2n+1−n−2,
由Sn>2015,得2n+1-n-2>2015,即2n+1-n>2017,
∵函数f(n)=2n+1-n为增函数,且f(9)=1015<2017,f(10)=2038>2017,
∴使Sn>2015成立的最小n的值为10;
(3)证明:∵anan+1=2n−12n+1−1=12−122n+1−1,
∴∑nk=1akak+1=a1a2+a2a3+…+anan+1=(12−1222−1)+(12−1223−1)+…+(12−122n+1−1)=n2−(123−2+124−2+…+12n+2−2)<n2;
∵12n+2−2<12(2n+1−2)<…<12n−1(23−2)=16•(12)n−1,
∴123−2+124−2+…+12n+2−2<16+16•12+…+16•(12)n−1<13(1−12n)<13.
∴∑nk=1akak+1=n2−(123−2+124−2+…+12n+2−2)>n2−13.
∴n2-13<∑nk=1akak+1<n2.
点评 本题考查了等比关系的确定,考查了放缩法证明数列不等式,对于(3)的证明,裂项anan+1=2n−12n+1−1=12−122n+1−1是关键,属难题.