Question

函数f(x)的定义域为R，且对任意x、y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x＞0时,?f(x)＜0,f(1)=-2.

(1)证明f(x)是奇函数；

(2)证明f(x)在R上是减函数；

(3)求f(x)在区间［-3，3］上的最大值和最小值.

Answer 1

(1)证明:由f(x+y)=f(x)+f(y),得f［x+(-x)］=f(x)+f(-x),

    ∴f(x)+f(-x)=f(0).

    又f(0+0)=f(0)+f(0),

    ∴f(0)=0.

    从而有f(x)+f(-x)=0.

    ∴f(-x)=-f(x).

    ∴f(x)是奇函数.

(2）证明:任取x₁、x₂∈R,且x₁＜x₂,则f(x₁)-f(x₂)=f(x₁)-f［x₁+(x₂-x₁)］=f(x₁)-［f(x₁)+f(x₂-x₁)］=-f(x₂-x₁).

    由x₁＜x₂,∴x₂-x₁＞0.

    ∴f(x₂-x₁)＜0.

    ∴-f(x₂-x₁)＞0,即f(x₁)＞f(x₂),从而f(x)在R上是减函数.

(3)解:由于f(x)在R上是减函数，故f(x)在［-3，3］上的最大值是f(-3),最小值是f(3).

由f(1)=-2,得f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3×(-2)=-6,

f(-3)=-f(3)=6.从而最大值是6，最小值是-6.