Question

如图，在棱长为ɑ的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是CB、CD、CC₁的中点．
（1）求直线A₁C与平面ABCD所成角的正弦的值；
（2）求证：平面A B₁D₁∥平面EFG；
（3）求证：平面AA₁C⊥面EFG．

Answer 1

分析：（1）确定∠A₁CA为A₁C与平面ABCD所成角，即可求直线A₁C与平面ABCD所成角的正弦的值；
（2）根据线面平行的判定定理可得：D₁B₁∥平面GEF，同理AB₁∥平面GEF，进而根据面面平行的判定定理可得面面平行；
（3）先证明EF⊥平面AA₁C，再根据面面垂直的判定定理可得面面垂直．

解答：解：（1）∵A₁C∩平面ABCD=C，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，A₁A⊥平面ABCD
∴AC为A₁C在平面ABCD的射影
∴∠A₁CA为A₁C与平面ABCD所成角
∵正方体的棱长为a
∴AC=

2

a，A₁C=

3

a
∴sin∠A₁CA=

A1A

A1C

=

3

3

；
（2）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中连接BD，
因为DD₁∥B₁B，DD₁=B₁B，DD₁BB₁为平行四边形
所以D₁B₁∥DB．
∵E，F分别为BC，CD的中点
∴EF∥BD，
∴EF∥D₁B₁．
∵EF?平面GEF，D₁B₁?平面GEF，
∴D₁B₁∥平面GEF
同理AB₁∥平面GEF
∵D₁B₁∩AB₁=B₁
∴平面A B₁D₁∥平面EFG．      
（3）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中有AA₁⊥平面ABCD，
∵EF?平面ABCD∴AA₁⊥EF
∵ABCD为正方形
∴AC⊥BD
∵EF∥BD∴AC⊥EF．
 又因为AA₁∩AC=A，
所以EF⊥平面AA₁C．
∵EF?平面EFG
∴平面AA₁C⊥面EFG．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而利用有关的定理解决点、线、面之间的位置关系．