Question

【题目】设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的右焦点作斜率为1的直线与椭圆交于两点，试在轴上求一点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形.

Answer 1

【答案】（1）；（2）点坐标为时.

【解析】

（1）根据已知求出，再根据直线与直线垂直求出b的值，即求出椭圆的方程；（2）先求出线段的中点为，再根据求出t的值，即得解.

（1）设椭圆的焦距为，则点，点，

设，且，则，，

∵，则，所以，即.

∵直线与直线垂直，且点，

∴，，

由，得，

∵，∴，.

因此，椭圆的方程为.

（2）由（1）得.设点，，直线的方程为.

将直线的方程与椭圆的方程联立，消去并整理得，

由韦达定理得，所以.

因此，线段的中点为.

设点的坐标为，由于，为邻边的平行四边形是菱形，则.

所以直线的斜率为，解得.

因此，当点坐标为时，以，为邻边的平行四边形为菱形.