题目内容
2．给出下列五个命题：①函数f（x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）是R上的奇函数
②把函数f（x）=2sin2x图象上每个点的横坐标伸长到原来的3倍，然后再向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到的函数解析式可以表示为g（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）
③化简sin40°（tan10°-$\sqrt{3}$）的最简结果是1
④函数f（x）=2cos2x，若x1，x2满足：对任意x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值为$\frac{π}{2}$
⑤已知△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=（cos18°，cos72°），$\overrightarrow{BC}$=（2cos63°，2cos27°），则∠B=135°
其中正确命题的序号是①④⑤（把你认为正确的命题序号都填上）
分析 ①根据奇函数的定义得到：f（-x）=-f（x）；
②根据三角函数的图象变换进行判断；
③根据切化弦、两角和的余弦公式、倍角的正弦公式和诱导公式化简；
④根据三角函数的对称性和最值性结合三角函数的周期性进行判断即可；
⑤利用向量的夹角公式和数量积运算、模的计算公式、三角函数的平方关系、两角和差的正弦公式即可得出．
解答 解：①∵f（-x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），-f（x）=-lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）=lg$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}-x}$=lg$\frac{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}{（\sqrt{{x}^{2}+1）^{2}-{x}^{2}}}$=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）是R上的奇函数．
故①正确；
②把函数f（x）=2sin2x图象上每个点的横坐标伸长到原来的3倍，得到函数f（x）=2sin$\frac{2}{3}$x，然后再向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到的函数解析式可以表示为g（x）=2sin$\frac{2}{3}$（x-$\frac{π}{6}$）=2sin（$\frac{2}{3}$x-$\frac{π}{9}$）．
故②错误；
③sin40°（tan10°-$\sqrt{3}$）=sin40°（$\frac{sin10°}{cos10°}$-$\sqrt{3}$）
=-sin40°×$\frac{\sqrt{3}cos10°-sin10°}{cos10°}$=-sin40°×$\frac{2（\frac{\sqrt{3}}{2}cos10°-\frac{1}{2}sin10°）}{cos10°}$=-sin40°×$\frac{2cos40°}{cos10°}$=-$\frac{sin80°}{cos10°}$=-1．
故③错误；
④若存在实数x1、x2，使得对任意x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，
则f（x1）为函数f（x）的最小值，f（x2）为函数f（x）的最大值，
则|x1-x2|的最小值为$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{2π}{2}$=$\frac{π}{2}$，
故④正确；
⑤：∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=-cos18°•2cos63°-cos72°•2cos27°
=-2（sin27°cos18°+cos27°sin18°）=-2sin45°=-$\sqrt{2}$．
$\overrightarrow{BA}$=$\sqrt{co{s}^{2}18°+si{n}^{2}18°}$=1，$\overrightarrow{BC}$=$\sqrt{4co{s}^{2}63°+4co{s}^{2}27°}$=2$\sqrt{si{n}^{2}27°+co{s}^{2}27°}$=2．
∴cosB=$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|•|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{-\sqrt{2}}{2}$，
∴∠B=135°．
故⑤正确．
综上所述，正确的结论是①④⑤．
故答案是：①④⑤．
点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的内容主要是三角函数的图象和性质以及三角函数的图象变换，综合考查三角形的性质的应用．
应用题天天练四川大学出版社系列答案
某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
从参加环保竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题：