题目内容
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1为菱形,∠A1AB=60°,四边形BCC1B1为矩形,若AB⊥BC且AB=4,BC=3
(1)求证:平面A1CB⊥平面ACB1;
(2)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
解:(1)证明:∵四边形BCC1B1为矩形,∴B1B⊥CB,
又AB⊥CB,B1B∩AB=B
∴CB⊥面A1ABB1,AB1?A1ABB1,
∴CB⊥AB1,
∵四边形A1ABB1为菱形,∴A1B⊥AB1,且CB∩A1B=B,
∴AB1⊥平面A1CB,∵AB1?平面ACB1,
∴平面A1CB⊥平面ACB1;
(2)过点A作BC的平行线,过C作BA的平行线,两线交于点D,
则四边形ABCD为平行四边形.
同样地作图得出A1B1C1D1为平行四边形.
连接D1D,即将三棱柱ABC-A1B1C1中补上了同等体积的几何体A1C1D1-ACD.构成四棱柱A1B1C1D1-ABCD,
由(1)中CB⊥面A1ABB1,看作以A1ABB1为底面,以BC为高的四棱柱.
∴V三棱柱ABC-A1B1C1=V四棱柱A1B1C1D1-ABCD
=S菱形A1ABB1×CB
=×4×4sin60°×3
=12.
分析:(1)要证平面A1CB⊥平面ACB1;可以通过证出AB1⊥平面A1CB而得到.因为四边形A1ABB1为菱形,所以A1B⊥AB1.若证出CB⊥AB1则可,由已知,利用CB⊥面A1ABB1,可实现.
(2)可将三棱柱ABC-A1B1C1中补上同等体积的几何体A1C1D1-ACD.构成四棱柱A1B1C1D1-ABCD,而四棱柱A1B1C1D1-ABCD 视为以菱形A1ABB1为底面,CB为高的几何体,体积易求.
点评:本题考查直线和直线、直线和平面、平面和平面垂直关系的判定与转化,柱体体积的计算,考查空间想象、转化、计算、论证能力.
又AB⊥CB,B1B∩AB=B
∴CB⊥面A1ABB1,AB1?A1ABB1,
∴CB⊥AB1,
∵四边形A1ABB1为菱形,∴A1B⊥AB1,且CB∩A1B=B,
∴AB1⊥平面A1CB,∵AB1?平面ACB1,
∴平面A1CB⊥平面ACB1;
(2)过点A作BC的平行线,过C作BA的平行线,两线交于点D,
则四边形ABCD为平行四边形.
同样地作图得出A1B1C1D1为平行四边形.
连接D1D,即将三棱柱ABC-A1B1C1中补上了同等体积的几何体A1C1D1-ACD.构成四棱柱A1B1C1D1-ABCD,
由(1)中CB⊥面A1ABB1,看作以A1ABB1为底面,以BC为高的四棱柱.
∴V三棱柱ABC-A1B1C1=V四棱柱A1B1C1D1-ABCD
=S菱形A1ABB1×CB
=×4×4sin60°×3
=12.
分析:(1)要证平面A1CB⊥平面ACB1;可以通过证出AB1⊥平面A1CB而得到.因为四边形A1ABB1为菱形,所以A1B⊥AB1.若证出CB⊥AB1则可,由已知,利用CB⊥面A1ABB1,可实现.
(2)可将三棱柱ABC-A1B1C1中补上同等体积的几何体A1C1D1-ACD.构成四棱柱A1B1C1D1-ABCD,而四棱柱A1B1C1D1-ABCD 视为以菱形A1ABB1为底面,CB为高的几何体,体积易求.
点评:本题考查直线和直线、直线和平面、平面和平面垂直关系的判定与转化,柱体体积的计算,考查空间想象、转化、计算、论证能力.
练习册系列答案
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A、3:2 | B、7:5 | C、8:5 | D、9:5 |