Question

8．已知数列{a_n}满足：a₁=$\frac{3}{2}$，且a_n=$\frac{{3n{a_{n-1}}}}{{2{a_{n-1}}+n-1}}$（n≥2，n∈N^*）．证明：{1-$\frac{n}{{a}_{n}}$}为一个等比数列，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 先将递推公式两边取倒数，再两边乘以n，再两边减去1，得到1-$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$•[1-$\frac{n-1}{{a}_{n-1}}$]，即可下结论．

解答 证明：∵a_n=$\frac{{3n{a_{n-1}}}}{{2{a_{n-1}}+n-1}}$，两边取倒数得，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n-1}+n-1}{3n{a}_{n-1}}$，两边乘以n，并裂项得，
$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$•$\frac{n-1}{{a}_{n-1}}$，两边减1得，
$\frac{n}{{a}_{n}}$-1=-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$•$\frac{n-1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{n-1}{{a}_{n-1}}$-1），
因此，1-$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$•[1-$\frac{n-1}{{a}_{n-1}}$]，
故数列{1-$\frac{n}{{a}_{n}}$}是以1-$\frac{1}{{a}_{1}}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
所以，1-$\frac{n}{{a}_{n}}$=（1-$\frac{1}{{a}_{1}}$）•$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，其中a₁=$\frac{3}{2}$，
解得，a_n=$\frac{n•3^n}{3^n-1}$．

点评 本题主要考查了等比关系的确定和数列通项公式的解法，证明中用到了综合法与等比数列定义，属于中档题．