Question

6．已知双曲线的中心在原点，过右焦点F（2，0）作斜率为$\sqrt{\frac{3}{5}}$的直线，交双曲线于M，N两点，且|MN|=4，求双曲线方程．

Answer 1

分析 先由题意设出双曲线的标准方程及直线的点斜式方程，然后联立方程组消去y得x的方程，利用|MN|=4，建立方程，求出a，即可求双曲线方程．

解答 解：设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），直线方程为y=$\sqrt{\frac{3}{5}}$（x-2），b²=4-a²，
直线与双曲线方程联立，整理，可得（4-$\frac{8}{5}$a²）x²+$\frac{12}{5}$a²x-$\frac{32}{5}$a²+a⁴=0，
∵|MN|=4，
∴（1+$\frac{3}{5}$）[（-$\frac{\frac{12}{5}{a}^{2}}{4-\frac{8}{5}{a}^{2}}$）²-4×$\frac{-\frac{32}{5}{a}^{2}+{a}^{4}}{4-\frac{8}{5}{a}^{2}}$]=16，
∴a=1，b=$\sqrt{3}$，
∴双曲线方程是x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查双曲线的标准方程及直线与圆锥曲线的位置关系，综合性强，字母运算能力是一大考验．