Question

8．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABB₁A₁⊥底面ABC，AB=BC=CA=$\frac{1}{2}A{A_1}$=1，∠A₁AB=120°，D、E分别是BC、A₁C₁的中点．
（Ⅰ）试在棱AB上找一点F，使DE∥平面A₁CF；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求多面体BCF-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）F是AB的中点，连接DF，利用三角形的中位线定理与平行四边形的判定定理可得：四边形A₁FDE是平行四边形，可得DE∥A₁F，再利用线面平行的判定定理可得：DE∥平面A₁CF．
（II）连接AB₁，在△AA₁B₁中，∠AA₁B₁=60°，A₁A=2，A₁B₁=1，根据余弦定理可得AB₁，利用勾股定理的逆定理可得：A₁B₁⊥AB₁，再利用等边三角形的性质、面面垂直的性质可得：AB₁是三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高．利用多面体BCF-A₁B₁C₁的体积V=${V_{三棱柱ABC-{A_1}{B_1}{C_1}}}$-V_三棱锥$_{C-{A_1}AF}$即可得出．

解答 解：（Ⅰ）F是AB的中点，证明如下：
连接DF，
∵D、E分别是BC、A₁C₁的中点，
∴DF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，又AC$\stackrel{∥}{=}$A₁C₁，且A₁E=$\frac{1}{2}$A₁C₁，
则DF$\stackrel{∥}{=}$A₁E，
∴四边形A₁FDE是平行四边形，
∴DE∥A₁F，又A₁F?平面A₁CF，DE?平面A₁CF，
∴DE∥平面A₁CF．
（Ⅱ）连接AB₁，在△AA₁B₁中，∠AA₁B₁=60°，A₁A=2，A₁B₁=1，
根据余弦定理，$A{B_1}=\sqrt{{2^2}+{1^2}-2×2×1×cos{{60}°}}=\sqrt{3}$，
则$AB_1^2+{A_1}B_1^2={A_1}{A^2}$，
∴A₁B₁⊥AB₁，
由（Ⅰ）知，F是AB的中点，则CF⊥AB，面ABB₁A₁⊥面ABC，
∴AB₁⊥底面ABC，即AB₁是三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高．
∴${V_{三棱柱ABC-{A_1}{B_1}{C_1}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}×\sqrt{3}=\frac{3}{4}$，
V_三棱锥$_{C-{A_1}AF}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\frac{1}{2}×sin{120°}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{1}{8}$，
∴多面体BCF-A₁B₁C₁的体积V=${V_{三棱柱ABC-{A_1}{B_1}{C_1}}}$-V_三棱锥$_{C-{A_1}AF}$=$\frac{3}{4}-\frac{1}{8}$=$\frac{5}{8}$．

点评 本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理、余弦定理、勾股定理的逆定理、等边三角形的性质、面面垂直的性质、三棱柱与三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．