Question

20．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

	喜爱打篮球	不喜爱打篮球	合计
男生	20	5	25
女生	10	15	25
合计	30	20	50

（1）为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关，根据独立性检验，你有多大的把握认为是否喜欢打蓝球与性别有关？
（2）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽6人，其中男生抽多少人？
（3）在上述（2）中抽取的6人中选2人，求恰有一名女生的概率．
参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
参考数据：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）求出K²，然后说明喜欢打蓝球与性别是否有关．
（2）求出抽样比，然后求解男生应该抽取的人数．
（3）在上述（2）抽取的6名学生中，女生的有2人，记为a、b，男生4人，记为1、2、3、4，写出从6名学生任取2名的所有情况，记“6人中选2人，恰有一名女生其中恰有1名女生”的数目，即可求解概率．

解答 解：（1）由列联表数据求得${K^2}=\frac{{50{{（20×15-5×10）}^2}}}{30×20×25×25}≈8.333＞7.879$，…（2分）
由P（k²≥7.879）=0.005=0.5%可知，
所以有99.5%的把握认为是否喜欢打蓝球是与性别有关系的．…（3分）
（2）在喜欢打蓝球的学生中抽6人，则抽取男生比例为$\frac{6}{30}=\frac{1}{5}$，…（4分）
∴男生应该抽取$20×\frac{1}{5}=4$人． …（5分）
（3）在上述（2）抽取的6名学生中，女生的有2人，记为a、b，
男生4人，记为1、2、3、4，则从6名学生任取2名的所有可能为：…（6分）
（a，b），（a，1），（a，2），（a，3），（a，4），（b，1），（b，2）（b，3）（b，4），（1，2），
（1，3），（1，4），（2，3），（2，3），（3，4），共15种，…（8分）
记“6人中选2人，恰有一名女生其中恰有1名女生”为事件A，
则事件A包含的基本事件有：…（9分）
（a，1），（a，2），（a，3），（a，4），（b，1），（b，2）（b，3）（b，4），共8种，．（10分）
故所求的概率为$P（A）=\frac{8}{15}$． …（12分）

点评 本题考查对立检验的应用，古典概型的概率的求法以及分层抽样的应用，考查计算能力．