Question

设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量

a

=（mx，y+1），向量

b

=（x，y-1），

a

⊥

b

，动点M（x，y）的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（2）点P为当m=

1

4

时轨迹E上的任意一点，定点Q的坐标为（3，0），点N满足

PN

=2

NQ

，试求点N的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）根据向量的数量积运算公式，由

a

⊥

b

得

a

•

b

=0，化简得mx²+y²-1=0．再根据m的取值范围进行讨论，即可得到各种情况下轨迹E的方程所表示的曲线的类型；
（2）当m=

1

4

时，轨迹E为椭圆

x2

4

+y²=1．设N（x，y），P（x₀，y₀），利用坐标转移法，结合

PN

=2

NQ

算出   P的坐标为（3x-6，3y），代入轨迹E的方程化简即得所求点N的轨迹方程．

解答：解：（1）∵

a

=（mx，y+1），

b

=（x，y-1），且

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=0，即mx²+（y+1）（y-1）=mx²+y²-1=0．
即轨迹E的方程为mx²+y²-1=0
①当m=0时，方程表示两直线，方程为y=±1；
②当m=1时，方程为x²+y²=1，表示的是单位圆；
③当m＞0且m≠1时，方程为mx²+y²=1，表示的是椭圆
0＜m＜1时，该椭圆的焦点在x轴上，m＞1时，该椭圆的焦点在y轴上；
④当m＜0时，方程mx²+y²=1，表示的是焦点在y轴的双曲线．
（2）设N（x，y），P（x₀，y₀）
可得

PN

=（x-x₀，y-y₀），

NQ

=（3-x，-y）
∵

PN

=2

NQ

，
∴

x-x0=6-2x y-y0=-2y

，可得

x0=3x-6  y0=3y

，
当m=

1

4

时，轨迹E为

x2

4

+y²=1，将点P（x₀，y₀）代入得

(3x-6)2

4

+9y²=1
所以点N的轨迹方程为

(3x-6)2

4

+9y²=1．

点评：本题给出动点满足的条件，求动点轨迹方程并讨论所得曲线的形状．着重考查了向量的数量积运算、圆锥曲线的定义与概念和轨迹方程的求法等知识，属于中档题．