Question

设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量

a

=(mx，y+1)，向量

b

=(x，y-1)，

a

⊥

b

，动点M（x，y）的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（Ⅱ）已知m=

1

4

，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），并求出该圆的方程．

Answer 1

分析：（1）因为

a

⊥

b

，

a

=(mx，y+1)，

b

=(x，y-1)，所以

a

•

b

=mx2+y2-1=0，由此根据实数m的取值，能判断该方程所表示曲线的形状．
（2）当m=

1

4

时，轨迹E的方程为

x2

4

+y2=1，设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，解方程组

y=kx+t x2 4 +y2=1

，得x²+4（kx+t）²=4，即（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0，由此证明存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），并求出该圆的方程．

解答：解：（1）因为

a

⊥

b

，

a

=(mx，y+1)，

b

=(x，y-1)，
所以

a

•

b

=mx2+y2-1=0，即mx²+y²=1．
当m=0时，方程表示两直线，方程为y=±1；
当m=1时，方程表示圆；
当m＞0且m≠1时，方程表示的是椭圆；
当m＜0时，方程表示的是双曲线．
（2）当m=

1

4

时，轨迹E的方程为

x2

4

+y2=1，
设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，
解方程组

y=kx+t x2 4 +y2=1

，
得x²+4（kx+t）²=4，即（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0，
要使切线与轨迹E恒有两个交点A，B，
则使△=64k²t²-16（1+4k²）（t²-1）=16（4k²-t²+1）＞0，
即4k²-t²+1＞0，即t²＜4k²+1，
且

x1+x2=- 8kt 1+4k2 x1x2= 4t2-4 1+4k2

y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）
=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2
=

k2(4t2-4)

1+4k2

-

8k2t2

1+4k2

+t²=

t2-4k2

1+4k2

，
要使

OA

⊥

OB

，需使x₁x₂+y₁y₂=0，
即

4t2-4

1+4k2

+

t2-4k2

1+4k2

=

5t2-4k2-4

1+4k2

=0，
所以5t²-4k²-4=0，即5t²=4k²+4且t²＜4k²+1，
即4k²+4＜20k²+5恒成立．
所以又因为直线y=kx+t为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为r=

|t|

1+k2

，r2=

t2

1+k2

=

4 5 (1+k2)

1+k2

=

4

5

，
所求的圆为x2+y2=

4

5

．
当切线的斜率不存在时，切线为x=±

2

5

5

，
与

x2

4

+y2=1交于点(

2

5

5

，±

2

5

5

)或(-

2

5

5

，±

2

5

5

)也满足OA⊥OB．
综上，存在圆心在原点的圆x2+y2=

4

5

，
使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且

OA

⊥

OB

．

点评：本题考查方程所表示曲线形状，考查圆的方程的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意直线和圆锥曲线的位置关系的综合应用．