题目内容
如图所示,已知正方形ABCD的边长为2,AC∩BD=O,将正方形ABCD沿对角线BD折起,得到三棱锥A—BCD。
(1)求证:平面AOC⊥平面BCD;
(2)若三棱锥A—BCD的体积为,求AC的长。
【解析】本试题主要是考查立体几何中垂直的证明,以及利用线面的垂直的判定定理和性质定理求解三棱锥的体积,得到AC的长度。
【答案】
(1)证明:因为是正方形,
所以,
.…………………………1分
在折叠后的△和△
中,
仍有,
.…………………………2分
因为,所以
平面
.………3分
因为平面
,
所以平面平面
.…………………………4分
(2)解:设三棱锥的高为
,
由于三棱锥的体积为
,
所以.因为
,所以
.…5分
以下分两种情形求的长:
①当为钝角时,如图,过点
作
的垂线交
的延长线于点
,
由(1)知平面
,所以
.
又,且
,所以
平面
.
所以为三棱锥
的高,即
.………………………………………6分
在△
中,因为
,
所以
.………………7分
在△
中,因为
,
则.…………………………8分
所以.…………………………9分
②当为锐角时,如图,过点
作
的垂线交
于点
,
由(1)知平面
,所以
.
又,且
,所以
平面
.
所以为三棱锥
的高,即
.
在△
中,因为
,
所以
.…………10分
在△
中,因为
,
则.
所以.…………………11分
综上可知,的长为
或
.

练习册系列答案
相关题目