题目内容

如图所示,已知正方形ABCD的边长为2,AC∩BD=O,将正方形ABCD沿对角线BD折起,得到三棱锥A—BCD。

   (1)求证:平面AOC⊥平面BCD;

   (2)若三棱锥A—BCD的体积为,求AC的长。

【解析】本试题主要是考查立体几何中垂直的证明,以及利用线面的垂直的判定定理和性质定理求解三棱锥的体积,得到AC的长度。

 

【答案】

 

(1)证明:因为是正方形,

所以.…………………………1分

在折叠后的△和△中,

仍有.…………………………2分

因为,所以平面.………3分

因为平面

所以平面平面.…………………………4分

(2)解:设三棱锥的高为

由于三棱锥的体积为

所以.因为,所以.…5分

以下分两种情形求的长:

①当为钝角时,如图,过点的垂线交的延长线于点

由(1)知平面,所以

,且,所以平面

所以为三棱锥的高,即.………………………………………6分

中,因为

所以

.………………7分

中,因为

.…………………………8分

所以.…………………………9分

②当为锐角时,如图,过点的垂线交于点

由(1)知平面,所以

,且,所以平面

所以为三棱锥的高,即

中,因为

所以

.…………10分

中,因为

所以.…………………11分

综上可知,的长为

 

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