题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，且过点
.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）四边形
的顶点在椭圆上，且对角线
、
过原点
，若
，
（1）求
的最值；
（2）求证；四边形的面积为定值.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）（1）
的最小值为
. 的最大值为
.（2）见证明
【解析】
（Ⅰ）根据椭圆的离心率及椭圆过点
可联立方程组求解（Ⅱ）设直线
的方程为
，再设
，
，根据直线与椭圆的位置关系可求出
，
，由
可化简得
（1）根据
，由k的范围可求出的最值（2）设原点到直线的距离为
，则
，再由
即可求解.
（Ⅰ）由题意
，
，又
，
解得：
，
，
椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）设直线的方程为，再设，，
联立
，得
.
…①
，
，
，
，
，
，
，得.
（1）
当
（此时
满足①式），即直线平行于
轴时，的最小值为
.
又直线AB的斜率不存在时，设
，则
.
有
，
又
，可得
.
所以
.
的最大值为.
(2)设原点到直线的距离为，则
.
.
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