题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别是
,离心率
,过点
且垂直于
轴的直线被椭圆
截得的线段长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线过椭圆
的右焦点
,且与
轴不重合,交椭圆
于
两点,过点
且与
垂直的直线与圆
交于
两点,求四边形
面积的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
试题分析:(1)过点且垂直于
轴的直线被椭圆
截得的线段长为通径即
,而
,解方程组得
(2)由于四边形对角线相互垂直,所以四边形
面积
,其中
为直线与圆的弦长,可根据圆中垂径定理
求解,而
为直线与椭圆的弦长,可根据弦长公式求解
,先讨论斜率不存在的情形
,
,再考虑斜率存在情形:设
的方程
联立方程组,结合韦达定理可得
,根据点到直线距离公式可得
,代入得
,综上可得四边形
面积的取值范围为
.
试题解析:(1)由于,将
代入椭圆方程
,即
,由题意知
,即
,又
,所以椭圆
的方程
.
(2)当直线与
轴不垂直时,设
的方程
,
由,得
,则
,
所以,过点
且与
垂直的直线
,圆心
到
的距离是
,所以
.
故四边形面积
.可得当
与
轴不垂直时,四边形
面积的取值范围为
.当
与
轴垂直时,其方程为
,四边形
面积为
,综上,四边形
面积的取值范围为
.

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