Question

20．设集合B={x||2^x+1-5|＜2^x-1}，A={x|x²-（a+a²）x+a³＜0}，若A∩B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 化简集合A，B，利用A∩B=A，可得A⊆B，分类讨论，即可求实数a的取值范围．

解答 解：∵x²-（a²+a）x+a³＜0，∴（x-a）（x-a²）＜0
B={x||2^x+1-5|＜2^x-1}=（1，2），
∵A∩B=A，
∴A⊆B，
a=a²，即a=0或1时，A=∅，符合题意；
a＞a²，即0＜a＜1时，A=（a²，a），则1＜a²＜a＜2，不符合题意；
a＜a²，即a＜0或a＞1时，A=（a，a²），则1＜a＜a²＜2，∴a∈（1，$\sqrt{2}$）．
综上，实数a的取值范围是[1，$\sqrt{2}$）∪{0}．

点评 本题考查集合的关系，考查集合的化简，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．