题目内容
10．定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），恒有f（kx）=kf（x），（k≥2，k∈N+）成立，则称f（x）为k阶缩放函数．（1）已知函数f（x）为二阶缩放函数，且当x∈（1，2]时，f（x）=1+log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，求f（2$\sqrt{2}$）的值；
（2）已知函数f（x）为二阶缩放函数，且当x∈（1，2]时，f（x）=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，求证：函数y=f（x）-x在（1，+∞）上无零点；
（3）已知函数f（x）为k阶缩放函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，kn+1]（n∈N）上的取值范围．
分析 （1）根据二阶缩放函数的定义，直接代入进行求值即可；
（2）根据函数零点的定义和性质判断函数y=f（x）-x在（1，+∞）上无零点；
（3）根据k阶缩放函数成立的条件建立条件关系即可求出结论．
解答 解：（1）由$\sqrt{2}$∈（1，2]得，f（$\sqrt{2}$）=1+1+log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$…（2分）
由题中条件得f（2$\sqrt{2}$）=2f（$\sqrt{2}$）=2×$\frac{1}{2}$=1…（4分）
（2）当x∈（2i，2i+1]（i=0，1，2）时，$\frac{x}{{2}^{i}}$∈（1，2]，依题意可得：f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=22f（$\frac{x}{{2}^{2}}$）=…=2if（$\frac{x}{{2}^{i}}$）=2i$\sqrt{2•\frac{x}{{2}^{i}}-（\frac{x}{{2}^{i}}）^{2}}$=$\sqrt{{2}^{i+1}x-{x}^{2}}$．…（6分）
方程f（x）-x=0?$\sqrt{{2}^{i+1}x-{x}^{2}}$=x?x=0或x=2i，0与2i均不属于（2i，2i+1]（（i=0，1，2））…（8分）
当x∈（2i，2i+1]（（i=0，1，2））时，方程f（x）-x=0无实数解．
注意到（1，+∞）=（20，21]∪（21，22]∪（22，23）∪…，所以函数y=f（x）-x在（1，+∞）上无零点．…（10分）
（3）当x∈（kj，kj+1]，j∈Z时，有$\frac{x}{{k}^{j}}$∈（1，k]，依题意可得：f（x）=kf（$\frac{x}{k}$）=k2f（$\frac{x}{{k}^{2}}$）=…=kjf（$\frac{x}{{k}^{j}}$）
当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1）…（12分）
所以当x∈（kj，kj+1]，j∈Z时，f（x）的取值范围是[0，kj）．…（14分）
由于（0，kn+1]=（kn，kn+1]∪（kn-1，kn]∪…∪（k0，k]∪（k-1，k0]∪…（16分）
所以函数f（x）在（0，kn+1]（n∈N）上的取值范围是：[0，kn）∪[0，kn-1）∪…∪[0，k0）∪[0，k-1）∪…=[0，kn）．…（18分）
点评 本题主要考查新定义的应用，正确理解k阶缩放函数的定义是解决本题的关键，综合性强，难度较大．
| A． | 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：若“x2=1则x≠1” | |
| B． | “x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件 | |
| C． | 命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1＜0” | |
| D． | 命题“若sinx≠siny，则x≠y”为真命题 |
如图，在△ABC中，AD为内角平分线，∠ADC=60°，点E在AD上，满足DE=DB，射线CE交AB于点F，求证：AF•AB+CD•CB=AC2．| A． | 3 | B． | 4 | C． | 7 | D． | 8 |
