题目内容
【题目】已知函数(
).当点
在函数
图象上运动时,对应的点
在函数
图象上运动,则称函数
是函数
的相关函数.
(1)解关于的不等式
;
(2)对任意的,
的图象总在其相关函数图象的下方,求
的取值范围;
(3)设函数,
.当
时,求
的最大值.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)利用对数函数的单调性可解不等式.
(2)先求出,再考虑不等式
对任意的
恒成立后可得实数
的取值范围.
(3)当时,
,令
,求出
的最小值后可得
的最大值.
(1)依题,则
,所以
所以原不等式的解集为.
(2)由题意,所以
.
所以的相关函数为
.
依题意,对任意的,
的图象总在其相关函数图象的下方,
即当,
恒成立①.
由对任意的
总成立,
,结合题设条件有
.
在此条件下,①等价于时,
恒成立,
即,即
.
设,
要使时,
恒成立,
只需即
成立,解得
,即
的取值范围是
.
(3)由(2)可得当时,在区间
上,
.
即,
设,则
.
令,则
,
所以,
因为(当且仅当
时等号成立),
可得,当
时等号成立,满足
,则
的最大值为
,
所以的最大值是
.
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