Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F作倾斜角为45°的直线与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长为16，则p的值等于

 

．

Answer 1

分析：抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而利用配方法求得|x₁-x₂|，利用弦长公式表示出段AB的长求得p．

解答：解：由题意可知过焦点的直线方程为 y=x-

p

2

，
联立有

y2=2px y=x- p 2

?x2-3px+

p2

4

=0，
∴x₁+x₂=3p，x₁x₂=

p2

4

∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(3p)2-4× p2 4

又 |AB|=

(1+12)

(3p)2-4× p2 4

=16求得p=4
故答案为：2

点评：本题主要考查了抛物线的应用，两点间的距离公式的应用．解题的时候注意利用好韦达定理，设而不求，找到解决问题的途径．