题目内容

【题目】已知直线,半径为的圆相切,圆心轴上且在直线的上方.

(Ⅰ)求圆的标准方程;

(Ⅱ)过点的直线与圆交于两点(轴上方),问在轴正半轴上是否存在点,使得轴平分?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)当点的坐标为时,能使得成立.

【解析】试题分析(Ⅰ)设圆心,由圆与直线相切,求出 ,得到圆C的标准方程;(Ⅱ)当直线轴,在轴正半轴上任一点,都可使轴平分; 当直线斜率存在时,设直线方程为 联立直线与圆的方程,消去,得到一个关于的二次方程,由韦达定理,求出 ,因为,求出的值.

试题解析:(Ⅰ)设圆心

(舍去).

所以圆的标准方程为

(Ⅱ)当直线轴,在轴正半轴上任一点,都可使轴平分

当直线斜率存在时,

设直线方程为

联立圆的方程和直线的方程得,

轴平分,则

.

当点的坐标为时,能使得成立.

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