题目内容
（2012•德阳三模）已知函数f(x)=2sinωx(cosωx-
sinωx)+
(ω＞0)的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调减区间；
（2）若f(θ)=
，求sin(
-4θ)的值．
| 3 |
| 3 |
（1）求f（x）的单调减区间；
（2）若f(θ)=
| 2 |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
分析：（1）根据三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为2sin（2ωx+
），由最小正周期求出ω=1，可得 f（x）=2sin（2x+
）．令 2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，求出x的范围即可求得 f（x）的单调减区间．
（2）由f(θ)=
，求得 sin（2θ+
）=
，再由 sin(
-4θ)=cos[
-(
-4θ)]=-cos（4θ+
）=2sin2(2θ+
)-1，运算求得结果．
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
（2）由f(θ)=
| 2 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| 5π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：解：（1）∵函数f(x)=2sinωx(cosωx-
sinωx)+
(ω＞0)=sin2ωx+
cos2ωx=2sin（2ωx+
），
由f（x）的最小正周期等于π 可得
=1，故ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+
）．
令 2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，可得 kπ+
≤x≤kπ+
，
∴f（x）的单调减区间为[kπ+
，kπ+
]，k∈z．
（2）若f(θ)=
，则 2sin（2θ+
）=
，
∴sin（2θ+
）=
．
故 sin(
-4θ)=cos[
-(
-4θ)]=-cos（4θ+
）=2sin2(2θ+
)-1=2×
-1=-
．
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
由f（x）的最小正周期等于π 可得
| 2π |
| 2ω |
∴f（x）=2sin（2x+
| π |
| 3 |
令 2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
∴f（x）的单调减区间为[kπ+
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
（2）若f(θ)=
| 2 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴sin（2θ+
| π |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
故 sin(
| 5π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| 5π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 9 |
| 7 |
| 9 |
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性及其求法，符合三角函数的单调性，属于中档题．
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