题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0），F1（-1，0）为椭圆的左焦点，右焦点为F2，其短轴的一个端点和两个焦点构成等边三角形的三个顶点，点E（0，
）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是椭圆C的一条过点F1且斜率为1的弦，求△ABF2的面积S；
（3）问是否存在直线l：kx+m，使l与椭圆C交于M、N两点，且（
+
）•（
-
）=0．若存在，求k的取值范围．若不存在，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| 2 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是椭圆C的一条过点F1且斜率为1的弦，求△ABF2的面积S；
（3）问是否存在直线l：kx+m，使l与椭圆C交于M、N两点，且（
| EM |
| EN |
| EM |
| EN |
分析：（1）利用椭圆的短轴的一个端点和两个焦点构成等边三角形的三个顶点，建立方程关系，求出a，b，即可得椭圆方程．
（2）设出AB的斜率，利用直线与椭圆联立求出△ABF2的面积S．
（3）假设存在直线使l与椭圆C交于M、N两点，设出交点坐标，利用（
+
）•（
-
）=0，将直线与椭圆方程联立，利用根与系数之间的关系确定k的取值范围．
（2）设出AB的斜率，利用直线与椭圆联立求出△ABF2的面积S．
（3）假设存在直线使l与椭圆C交于M、N两点，设出交点坐标，利用（
| EM |
| EN |
| EM |
| EN |
解答：解：（1）由c=1，且a=2c得a=2，所以b2=3 …2分
所以椭圆C的方程为
+
=1．…3分
（2）可设AB的方程为y=x+1，…4分
代入椭圆C的方程
+
=1，消去x，化简，得7y2-6y-9=0，
∴|y1-y2|=
=
…6分
∴S=
|y1-y2|×2c=
×
×2=
…7分
（3）由（
+
）•（
-
）=0可知以EM、EN为邻边的平行四边形对角线相互垂直．…8分
①根据椭圆关y轴的对称性，可知当MN⊥y轴，即k=0时，显然满足题意．…9分
②当k≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为H，
由MN⊥EH，即kMN•kKH=-1，
由
，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，（③）
由韦达定理，得x1+x2=
，
=
，
所以
=k
+m=k?
+m=
，
所以点H坐标为(
，
) …10分
又点E（0，
），所以kKH=
=
，
结合kMN•kKH=-1，得k?
=-1，
化简，得m=-2k2-
…11分
对于方程③，由△＞0，得m2＜3+4k2 …12分
所以
，得16k4+8k2-3＜0，
∴k∈(-
，
)…且k≠013分
∴所以，综上由①②得k∈(-
，
)…14分．
所以椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）可设AB的方程为y=x+1，…4分
代入椭圆C的方程
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
∴|y1-y2|=
| (y1+y2)2-4y1y2 |
12
| ||
| 7 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
12
| ||
| 7 |
12
| ||
| 7 |
（3）由（
| EM |
| EN |
| EM |
| EN |
①根据椭圆关y轴的对称性，可知当MN⊥y轴，即k=0时，显然满足题意．…9分
②当k≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为H，
由MN⊥EH，即kMN•kKH=-1，
由
|
由韦达定理，得x1+x2=
| -8km |
| 3+4k2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| -4km |
| 3+4k2 |
所以
| y1+y2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| -4km |
| 3+4k2 |
| 3m |
| 3+4k2 |
所以点H坐标为(
| -4km |
| 3+4k2 |
| 3m |
| 3+4k2 |
又点E（0，
| 1 |
| 2 |
| ||||
|
2k2-3m+
| ||
| 4km |
结合kMN•kKH=-1，得k?
2k2-3m+
| ||
| 4km |
化简，得m=-2k2-
| 3 |
| 2 |
对于方程③，由△＞0，得m2＜3+4k2 …12分
所以
|
∴k∈(-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴所以，综上由①②得k∈(-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，利用直线和椭圆方程联立，利用根与系数之间的关系是解决直线与圆锥曲线问题中常用的方法，运算量较大，综合性较强．
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