题目内容
【题目】设函数f(x)满足2x2f(x)+x3f'(x)=ex , f(2)= ,则x∈[2,+∞)时,f(x)的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解:由2x2f(x)+x3f'(x)=ex,
当x>0时,
故此等式可化为:f'(x)= ,且当x=2时,f(2)= ,
f'(x)= =0,
令g(x)=e2﹣2x2f(x),g(2)=0,
求导g′(x)=e2﹣2[x2f′(x)+2xf(x)]=e2﹣ = (x﹣2),
当x∈[2,+∞)时,g′(x)>0,
则g(x)在x∈[2,+∞)上单调递增,
g(z)的最小值为g(2)=0,
则f'(x)≥0恒成立,
∴f(x)的最小值f(2)= ,
故选D.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题.
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