题目内容

【题目】已知函数f(x)= (a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是(
A.(0, ]
B.[ ]
C.[ ]∪{ }
D.[ )∪{ }

【答案】C
【解析】解:y=loga(x+1)+1在[0,+∞)递减,则0<a<1,函数f(x)在R上单调递减,则:

解得,
由图象可知,

在[0,+∞)上,|f(x)|=2﹣x有且仅有一个解,
故在(﹣∞,0)上,|f(x)|=2﹣x同样有且仅有一个解,
当3a>2即a> 时,联立|x2+(4a﹣3)x+3a|=2﹣x,
则△=(4a﹣2)2﹣4(3a﹣2)=0,
解得a= 或1(舍去),
当1≤3a≤2时,由图象可知,符合条件,
综上:a的取值范围为[ ]∪{ },
故选:C.
利用函数是减函数,根据对数的图象和性质判断出a的大致范围,再根据f(x)为减函数,得到不等式组,利用函数的图象,方程的解的个数,推出a的范围.

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