题目内容
【题目】已知椭圆C的中心在原点,焦点F1 , F2在轴上,焦距为2,离心率为 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)若P是椭圆C上第一象限内的点,△PF1F2的内切圆的圆心为I,半径为 .求:
(i)点P的坐标;
(ii)直线PI的方程.
【答案】
(1)解:设椭圆C的方程为 ,(a>b>0),
由题意得 ,
解得a2=4,b2=3,
∴椭圆C的方程为 .
(2)解:(i)∵|PF1|+|PF2|=4,∴在△PF1F2中,|PF1|+|PF2|+|F1F2|=6,
∴△PF1F2的面积 =
(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)r=
,
又 =
,
∴ ,由
,得xP=1,∴P(1,
).
(ii)∵P(1, ),F1(﹣1,0),∴直线PF1的方程为
=
,
∴3x﹣4y+3=0,
∵△PF1F2的内切圆的半径为 ,∴设I(
),
则 =
,
解得 或
(舍).
∴直线PI的方程为y=2x﹣ .
【解析】(1)设椭圆C的方程为 ,(a>b>0),由焦距为2,离心率为
,列方程组解得a2=4,b2=3,由此能求出椭圆C的方程.(2)(i)由|PF1|+|PF2|=,得|PF1|+|PF2|+|F1F2|=6,利用△PF1F2的面积能求出P点坐标.(ii)先求出直线PF1的方程,设I(
),由点到直线的距离公式能求出直线PI的方程.
【考点精析】认真审题,首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:
).
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