题目内容
【题目】(本小题满分14分)
已知函数(
为常数)的图像与
轴交于点
,曲线
在点
处的切线斜率为
.
(1)求的值及函数
的极值;
(2)证明:当时,
(3)证明:对任意给定的正数,总存在
,使得当
时,恒有
【答案】(1)当时,
有极小值
,
无极大值.
(2)见解析.(3)见解析.
【解析】
试题分析:(1)由,得
.
从而.
令,得驻点
.讨论可知:
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增.
当时,
有极小值
,
无极大值.
(2)令,则
.
根据,知
在R上单调递增,又
,
当时,由
,即得.
(3)思路一:对任意给定的正数c,取,
根据.得到当
时,
.
思路二:令,转化得到只需
成立.
分,
,应用导数研究
的单调性.
思路三:就①,②
,加以讨论.
试题解析:解法一:
(1)由,得
.
又,得
.
所以,
.
令,得
.
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增.
所以当时,
有极小值,
且极小值为,
无极大值.
(2)令,则
.
由(1)得,,即
.
所以在R上单调递增,又
,
所以当时,
,即
.
(3)对任意给定的正数c,取,
由(2)知,当时,
.
所以当时,
,即
.
因此,对任意给定的正数c,总存在,当
时,恒有
.
解法二:(1)同解法一.
(2)同解法一.
(3)令,要使不等式
成立,只要
成立.
而要使成立,则只需
,即
成立.
①若,则
,易知当
时,
成立.
即对任意,取
,当
时,恒有
.
②若,令
,则
,
所以当时,
,
在
内单调递增.
取,
,
易知,
,所以
.
因此对任意,取
,当
时,恒有
.
综上,对任意给定的正数c,总存在,当
时,恒有
.
解法三:(1)同解法一.
(2)同解法一.
(3)①若,取
,
由(2)的证明过程知,,
所以当时,有
,即
.
②若,
令,则
,
令得
.
当时,
,
单调递增.
取,
,
易知,又
在
内单调递增,
所以当时,恒有
,即
.
综上,对任意给定的正数c,总存在,当
时,恒有
.

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