题目内容

某种商品,原来定价每件p元,每月能卖出n件,假若定价上涨x成(这里x成即
x
10
,且0<x≤10),每月卖出数量将减少y成,而售货金额变成原来的z倍.
(1)设y=
1
2
x,求售货金额最大时的x值;
(2)若y=
2
3
x,求使售货金额比原来有所增加的x值的范围.
分析:(1)根据售货金额=单件定价×销售量建立函数关系,然后基本不等式求出函数的最值;
(2)要使售货金额比原来有所增加,当且仅当z>1时才满足要求,建立不等式关系,解之即可求出所求.
解答:解:(1)由题意知,某商品定价若上涨x成,上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是p(1+
x
10
)元、n(1-
y
10
)件、znp元.
∴znp=p(1+
x
10
)n(1-
y
10
),
又y=
1
2
x,
∴z=
1
2
(1+
x
10
)(2-
x
10
).
由已知1+
x
10
>0,2-
x
10
>0,
∴z≤
1
2
[
(1+
x
10
)+(2-
x
10
)
2
]
2=
9
8

当且仅当1+
x
10
=2-
x
10

即x=5时,取“=”号,得x=5∈(0,10].
∴售货金额最大时x的值为5.
(2)当y=
2
3
x时,
z=(1+
x
10
)(1-
y
10
)=
1
100
(10+x)(10-
2
3
x).
显然,要使售货金额比原来有所增加,
当且仅当z>1时才满足要求.
1
100
(10+x)(10-
2
3
x)>1,得0<x<5.
∴使售货金额比原来有所增加的x值的范围是(0,5).
点评:本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用,同时考查了运算求解的能力,属于中档题.
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