题目内容
某种商品,原来定价每件p元,每月能卖出n件,假若定价上涨x成(这里x成即
,且0<x≤10),每月卖出数量将减少y成,而售货金额变成原来的z倍.
(1)设y=
x,求售货金额最大时的x值;
(2)若y=
x,求使售货金额比原来有所增加的x值的范围.
x |
10 |
(1)设y=
1 |
2 |
(2)若y=
2 |
3 |
分析:(1)根据售货金额=单件定价×销售量建立函数关系,然后基本不等式求出函数的最值;
(2)要使售货金额比原来有所增加,当且仅当z>1时才满足要求,建立不等式关系,解之即可求出所求.
(2)要使售货金额比原来有所增加,当且仅当z>1时才满足要求,建立不等式关系,解之即可求出所求.
解答:解:(1)由题意知,某商品定价若上涨x成,上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是p(1+
)元、n(1-
)件、znp元.
∴znp=p(1+
)n(1-
),
又y=
x,
∴z=
(1+
)(2-
).
由已知1+
>0,2-
>0,
∴z≤
[
]2=
,
当且仅当1+
=2-
,
即x=5时,取“=”号,得x=5∈(0,10].
∴售货金额最大时x的值为5.
(2)当y=
x时,
z=(1+
)(1-
)=
(10+x)(10-
x).
显然,要使售货金额比原来有所增加,
当且仅当z>1时才满足要求.
由
(10+x)(10-
x)>1,得0<x<5.
∴使售货金额比原来有所增加的x值的范围是(0,5).
x |
10 |
y |
10 |
∴znp=p(1+
x |
10 |
y |
10 |
又y=
1 |
2 |
∴z=
1 |
2 |
x |
10 |
x |
10 |
由已知1+
x |
10 |
x |
10 |
∴z≤
1 |
2 |
(1+
| ||||
2 |
9 |
8 |
当且仅当1+
x |
10 |
x |
10 |
即x=5时,取“=”号,得x=5∈(0,10].
∴售货金额最大时x的值为5.
(2)当y=
2 |
3 |
z=(1+
x |
10 |
y |
10 |
1 |
100 |
2 |
3 |
显然,要使售货金额比原来有所增加,
当且仅当z>1时才满足要求.
由
1 |
100 |
2 |
3 |
∴使售货金额比原来有所增加的x值的范围是(0,5).
点评:本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用,同时考查了运算求解的能力,属于中档题.
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